Simplifique as expressōes. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e que os denominadores são nāo nulos.
\sqrt{x \sqrt[3]{y^{12}}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a simplificar:
\sqrt{x \sqrt[3]{y^{12}}}
Foi dito para assumir que as variáveis são positivas (portanto não há problema com raízes de índice par). O pedido é: simplificar essa expressão, transformando radicais em potências e reduzindo expoentes sempre que possível.

Passo 2

Lembrete útil (regra de teoria): a raiz enésima corresponde a potência de expoente 1/n, ou seja \sqrt[n]{a} = a^{1/n}. Aplique isso à raiz cúbica:
\sqrt[3]{y^{12}} = \bigl(y^{12}\bigr)^{1/3}.
Outra regra importante é \bigl(a^{m}\bigr)^{n} = a^{m n}. Usando-a:
\bigl(y^{12}\bigr)^{1/3} = y^{12\cdot(1/3)} = y^{4}.
Como \,y>0, podemos simplesmente escrever y^{4}.

Passo 3

Substituindo isso na expressão original obtemos
\sqrt{x \sqrt[3]{y^{12}}} = \sqrt{x \cdot y^{4}}.
Agora use outra interpretação de raiz como potência: \sqrt{\cdot} = (\cdot)^{1/2}. Assim
\sqrt{x \cdot y^{4}} = (x\,y^{4})^{1/2}.
E lembre a regra distributiva de potências sobre produtos para números positivos: (ab)^{m} = a^{m} b^{m}. Aplicando:
(x\,y^{4})^{1/2} = x^{1/2}\,(y^{4})^{1/2}.

Passo 4

Simplifique (y^{4})^{1/2} usando \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn}:
(y^{4})^{1/2} = y^{4\cdot(1/2)} = y^{2}.
Portanto a expressão fica
x^{1/2}\,y^{2}.
Escrevendo de forma mais familiar com raiz, isso é
y^{2}\sqrt{x}.

Resposta

y^{2}\sqrt{x}

Exercícios relacionados