Mostre que:
a) Existe um, e um só, polinómio
de grau 3 tal que
b) O polinómio referido acima é
.
a) Existe um, e um só, polinómio
Passo 1
O enunciado pede um polinómio
de grau 3 que satisfaça
O conteúdo é interpolação polinomial; vamos usar argumentos de dimensão para a unicidade e a fórmula de Lagrange para a existência e cálculo explícito.
Passo 2
Suponha que existam dois polinómios
e
de grau
que satisfaçam as quatro condições. Então
é um polinómio de grau
com
Mas um polinómio não nulo de grau
não pode ter mais do que 3 raízes distintas. Logo
é o polinómio nulo e
. Isso prova a unicidade.
Passo 3
Para a existência e determinação de
, usamos a interpolação de Lagrange nos pontos
,
,
e
. A fórmula geral é
Aqui só o termo correspondente a
é zero, então
Passo 4
Calculando os denominadores:
Logo
Logo
Simplificando e somando termos em monômios, obtemos