Mostre que:
a) Existe um, e um só, polinómio p(x) de grau 3 tal que
p(-1)=0, \quad p(1)=4, \quad p(2)=3 \text { e } p(3)=16
b) O polinómio referido acima é p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+7.

Passo 1

O enunciado pede um polinómio p(x) de grau 3 que satisfaça
p(-1)=0,\quad p(1)=4,\quad p(2)=3,\quad p(3)=16.
O conteúdo é interpolação polinomial; vamos usar argumentos de dimensão para a unicidade e a fórmula de Lagrange para a existência e cálculo explícito.

Passo 2

Suponha que existam dois polinómios p e q de grau <=3 que satisfaçam as quatro condições. Então
h(x)=p(x)-q(x)
é um polinómio de grau <=3 com
h(-1)=h(1)=h(2)=h(3)=0.
Mas um polinómio não nulo de grau <=3 não pode ter mais do que 3 raízes distintas. Logo h é o polinómio nulo e p(x)=q(x). Isso prova a unicidade.

Passo 3

Para a existência e determinação de p(x), usamos a interpolação de Lagrange nos pontos (-1,0), (1,4), (2,3) e (3,16). A fórmula geral é
p(x)=\sum_{i=1}^{4}y_i\prod_{\substack{j=1\j\neq i}}^{4}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui só o termo correspondente a (x_1,y_1)=(-1,0) é zero, então
p(x)=4\frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{(1+1)(1-2)(1-3)} \;+\;3\frac{(x+1)(x-1)(x-3)}{(2+1)(2-1)(2-3)} \;+\;16\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(3+1)(3-1)(3-2)}.

Passo 4

Calculando os denominadores: (1+1)(1-2)(1-3)=4,\quad (2+1)(2-1)(2-3)=-3,\quad(3+1)(3-1)(3-2)=8.
Logo
p(x) =4\frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{4} +3\frac{(x+1)(x-1)(x-3)}{-3} +16\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{8}.
Simplificando e somando termos em monômios, obtemos
p(x)=2x^3-5x^2+7.

Resposta

p(x)=2x^3-5x^2+7

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