Mostre que a expressão da frequência angular do Pêndulo Físico se resume a frequência angular do Pêndulo Simples apenas utilizando o momento de inércia de um corpo que gira em torno de um eixo fixo.

Passo 1

Então, cara, o enunciado pede pra mostrar que a fórmula da frequência angular do pêndulo físico vira a fórmula do pêndulo simples quando a gente escolhe o momento de inércia certinho.
Conteúdo: dinâmica de rotação (torque, momento de inércia) e aproximação de pequenos ângulos.
O que vamos precisar:
  1. A equação de movimento do pêndulo físico (torque = ).
  2. A definição de momento de inércia para um ponto massivo a uma distância (que é o pêndulo simples).
  3. Aproximação para pequenos ângulos.

Passo 2

Bora derivar a frequência do pêndulo físico:
  1. Torque restaurador: , onde é a distância do pivô ao centro de massa.
  2. Equação de Newton para rotação:
    .
    Então .
  3. Para pequenas oscilações, . Aí fica

    ou
    .
  4. Isso é um EQUAÇÃO HARMÔNICA do tipo , logo
    .

Passo 3

Agora o pêndulo simples é só um ponto-massa omega = raizm g,LmL^2 = raizgL preso numa haste sem massa de comprimento .
  1. A distância do pivô ao centro de massa é .
  2. O momento de inércia de uma partícula a distância é
    .
  3. Substituindo em :

Resposta

A frequência angular do pêndulo físico

reduz-se à do pêndulo simples

quando a gente toma e .

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