Mostre que a expressão da frequência angular do Pêndulo Físico se resume a frequência angular do Pêndulo Simples apenas utilizando o momento de inércia de um corpo que gira em torno de um eixo fixo.
Passo 1
Então, cara, o enunciado pede pra mostrar que a fórmula da frequência angular do pêndulo físico vira a fórmula do pêndulo simples quando a gente escolhe o momento de inércia certinho.
Conteúdo: dinâmica de rotação (torque, momento de inércia) e aproximação de pequenos ângulos.
O que vamos precisar:
Conteúdo: dinâmica de rotação (torque, momento de inércia) e aproximação de pequenos ângulos.
O que vamos precisar:
- A equação de movimento do pêndulo físico (torque =
). - A definição de momento de inércia para um ponto massivo a uma distância
(que é o pêndulo simples). - Aproximação
para pequenos ângulos.
Passo 2
Bora derivar a frequência do pêndulo físico:
- Torque restaurador:
, onde é a distância do pivô ao centro de massa. - Equação de Newton para rotação:
.
Então. - Para pequenas oscilações,
. Aí fica
ou
. - Isso é um EQUAÇÃO HARMÔNICA do tipo
, logo
.
Passo 3
Agora o pêndulo simples é só um ponto-massa
preso numa haste sem massa de comprimento
.
- A distância do pivô ao centro de massa é
. - O momento de inércia de uma partícula a distância
é
. - Substituindo em
:
Resposta
A frequência angular do pêndulo físico
reduz-se à do pêndulo simples
quando a gente toma e
.
reduz-se à do pêndulo simples
quando a gente toma