Atenção! Para esta questão, utilize o ponto (.) como separador decimal.
Um anel de latão ( alpha latão =19 times 10^-6 ^circ C^-1ã ) possui raio interno 10.000 cm e o cilindro de alumínio ( alphaal=24 times 10^-6 ^circ C^-1 ) possui raio 10.01 cm , ambos à temperatura de 39^circ C.
Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve expansão térmica, que é quando materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura. No nosso caso, temos um anel de latão e um cilindro de alumínio com raios diferentes a uma certa temperatura inicial. A gente precisa descobrir qual temperatura fará com que o anel deslize sem folgas pelo cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de expansão linear dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a expansão térmica faz. Quando a temperatura de um material muda, seu tamanho também muda. A fórmula geral para a expansão linear é:
L = L0 times (1 + alpha times De
Onde:
  • $ L $ é o comprimento final (ou raio, no nosso caso).
  • $ L_0 $ é o comprimento inicial.
  • $ \alpha $ é o coeficiente de expansão térmica do material.
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura ($ T - T_0 $).

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos dois objetos:
  1. Anel de latão:
    • Raio inicial ($ r_{latão,0} $) = 10.000 cm
    • Coeficiente de expansão ($ \alpha_{latão} $) = $ 19 \times 10^{-6} , \circ\text{C}{-1} $
    • Temperatura inicial ($ T_0 $) = 39°C
    Raio final do anel ($ r_{latão} $):
    rlatão,0 ã
  2. Cilindro de alumínio:
    • Raio inicial ($ r_{al} $) = 10.01 cm
    • Coeficiente de expansão ($ \alpha_{al} $) = $ 24 \times 10^{-6} , \circ\text{C}{-1} $
    • Temperatura inicial ($ T_0 $) = 39°C
    Raio final do cilindro ($ r_{al} $):
    alphalatão

Passo 4

Queremos que o anel deslize sem folgas pelo cilindro, ou seja, o raio do anel seja igual ao raio do cilindro na mesma temperatura $ T $:
T ã
Substituindo as expressões que obtivemos:
rlatão = ral

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ T $. Primeiro, vamos dividir ambos os lados por 10.000 para simplificar:
T
Calculando $ \frac{10.01}{10.000} $:
1 + 19 times 10^-6 times (T - 39) = 10.0110.000 times (1 + 24 times 10^-6 times (T - 39))

Passo 6

Vamos expandir o lado direito:
1 + 19 times 10^-6 times (T - 39) = 1.001 + 1.001 times 24 times 10^-6 times (T - 39)
Agora, vamos isolar os termos com $ T $:
T
Simplificando o lado direito:
19 times 10^-6 times (T - 39) - 1.001 times 24 times 10^-6 times (T - 39) = 1.001 - 1

Passo 7

Fatorando $ (T - 39) $:
(T - 39)
Calculando a diferença:
(19 times 10^-6 - 24.024 times 10^-6) times (T - 39) = 0.001

Passo 8

Agora, isolamos $ T - 39 $:
T - 39
Calculando o lado direito:
T - 39 = 0.001-5.024 times 10^-6

Passo 9

Finalmente, somamos 39°C para encontrar $ T $:
T

Resposta

A temperatura comum necessária para que o anel de latão deslize sem folgas pelo cilindro de alumínio é aproximadamente -160,21 °C.

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