Atenção! Para esta questão, utilize o ponto (.) como separador decimal.
Um anel de latão (
) possui raio interno 10.000 cm e o cilindro de alumínio (
) possui raio 10.01 cm , ambos à temperatura de
.
Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?
Um anel de latão (
Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve expansão térmica, que é quando materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura. No nosso caso, temos um anel de latão e um cilindro de alumínio com raios diferentes a uma certa temperatura inicial. A gente precisa descobrir qual temperatura fará com que o anel deslize sem folgas pelo cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de expansão linear dos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a expansão térmica faz. Quando a temperatura de um material muda, seu tamanho também muda. A fórmula geral para a expansão linear é:
Onde:
- $ L $ é o comprimento final (ou raio, no nosso caso).
- $ L_0 $ é o comprimento inicial.
- $ \alpha $ é o coeficiente de expansão térmica do material.
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura ($ T - T_0 $).
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula aos dois objetos:
-
Anel de latão:
- Raio inicial ($ r_{latão,0} $) = 10.000 cm
- Coeficiente de expansão ($ \alpha_{latão} $) = $ 19 \times 10^{-6} , \circ\text{C}{-1} $
- Temperatura inicial ($ T_0 $) = 39°C
Raio final do anel ($ r_{latão} $): -
Cilindro de alumínio:
- Raio inicial ($ r_{al} $) = 10.01 cm
- Coeficiente de expansão ($ \alpha_{al} $) = $ 24 \times 10^{-6} , \circ\text{C}{-1} $
- Temperatura inicial ($ T_0 $) = 39°C
Raio final do cilindro ($ r_{al} $):
Passo 4
Queremos que o anel deslize sem folgas pelo cilindro, ou seja, o raio do anel seja igual ao raio do cilindro na mesma temperatura $ T $:
Substituindo as expressões que obtivemos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ T $. Primeiro, vamos dividir ambos os lados por 10.000 para simplificar:
Calculando $ \frac{10.01}{10.000} $:
Passo 6
Vamos expandir o lado direito:
Agora, vamos isolar os termos com $ T $:
Simplificando o lado direito:
Passo 7
Fatorando $ (T - 39) $:
Calculando a diferença:
Passo 8
Agora, isolamos $ T - 39 $:
Calculando o lado direito:
Passo 9
Finalmente, somamos 39°C para encontrar $ T $:
Resposta
A temperatura comum necessária para que o anel de latão deslize sem folgas pelo cilindro de alumínio é aproximadamente -160,21 °C.