Mostre que f(x, y)=ccccx^4x^2+y^2 & , & (x, y) & neq(0,0) 0 & , & (x, y) & =(0,0) é diferenciável em (0,0) e é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^4x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
pede para mostrar que f é diferenciável em (0,0) e que é de classe C^1. Vamos usar a definição de diferenciabilidade em (0,0) (ou seja, f(x,y)=f(0,0)+L(x,y)+o(raizx^2+y^2)) e, em seguida, calcular e estudar a continuidade das derivadas parciais.]

Passo 2

Para ver diferenciabilidade em (0,0), note que a melhor aproximação linear de f em (0,0) é L(x,y)=0. Precisamos então checar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-0raizx^2+y^2 =0
Para (x,y)neq(0,0) temos
l|f(x,y)r| =|x|^4x^2+y^2 <=|x|^4x^2 =|x|^2
Como raizx^2+y^2>=|x|, segue
|f(x,y)raizx^2+y^2| <=|x|^2|x| =|x| ;xrightarrow[(x,y)to(0,0)];0
Logo f(x,y)=o(raizx^2+y^2) e f é diferenciável em (0,0).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais para (x,y)neq(0,0) usando a regra do quociente. Para f(x,y)=x^4(x^2+y^2)^-1:
fx(x,y) =4x^3(x^2+y^2)-x^4cdot2x(x^2+y^2)^2 =2x^3l(x^2+2y^2r)(x^2+y^2)^2,
fy(x,y) =-x^4cdot2y(x^2+y^2)^2 =-2x^4y(x^2+y^2)^2
E em (0,0), já que f é diferenciável ali com gradiente (0,0), temos
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0

Passo 4

Para concluir que fin C^1, mostramos que fx e fy são contínuas em (0,0). Para (x,y)neq(0,0) note que
l|fx(x,y)r| =2|x|^3(x^2+2y^2)(x^2+y^2)^2 <=2|x|^3cdot3(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 =6|x|^3x^2+y^2 <=6raizx^2+y^2,,
portanto lim(x,y)to(0,0)fx(x,y)=0=fx(0,0). Do mesmo modo,
l|fy(x,y)r| =2|x|^4|y|(x^2+y^2)^2 <=2(raizx^2+y^2)^4,raizx^2+y^2(raizx^2+y^2)^4 =2raizx^2+y^2 ;xrightarrow[(x,y)to(0,0)];0,
ou seja lim(x,y)to(0,0)fy(x,y)=0=fy(0,0). Assim fx e fy são contínuas em toda parte.

Passo 5

Como f é diferenciável em (0,0) e suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo R^2, concluímos que f é de classe C^1.

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0) e pertence a C^1(R^2).

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