EXERCÍCIOS:
5) Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17 h e meia-noite. A pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação x horas após as 17 h é
f(x)=18(-2 x^3+27 x^2-108 x+240)
b) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem menos ouvintes sintonizados na estação? Qual é a porcentagem de ouvintes neste momento?

Passo 1

O enunciado dá a função que mede a porcentagem de adultos sintonizados x horas após as 17 h, para 0<= x<=7:
f(x)=18l(-2x^3+27x^2-108x+240r)
Queremos encontrar o instante em que f(x) é mínimo nesse intervalo, usando derivada para achar extremos e depois comparando com os valores em x=0 e x=7.

Passo 2

Calcular a derivada de f(x). Como é um polinômio multiplicado por tfrac18, temos
f'(x) =18,l(-6x^2+54x-108r) =-6x^2+54x-1088

Passo 3

Achar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Igualando o numerador a zero:
-6x^2+54x-108=0 ;Longrightarrow; x^2-9x+18=0
As raízes são
x=9pmraiz81-722 =9pm32,
ou seja x=3 e x=6, ambos dentro de [0,7].

Passo 4

Avaliar f(x) em x=0, x=3, x=6 e x=7:
f(0)=2408=30%,
f(3)=-2cdot27+27cdot9-108cdot3+2408 =1058approx13,125%,
f(6)=-2cdot216+27cdot36-108cdot6+2408 =1328=16,5%,
f(7)=-2cdot343+27cdot49-108cdot7+2408 =1218approx15,125%

Passo 5

Comparando os valores, o menor é f(3)=tfrac1058approx13,125%. Esse valor ocorre quando x=3, ou seja 3 h após as 17 h, isto é às 20 h.

Resposta

O menor percentual de ouvintes ocorre às 20 h, com cerca de 13,125 % dos adultos sintonizados.

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