1. Mostre que \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots=\frac{3}{4}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}.
O conteúdo envolvido é séries numéricas e a técnica de somas telescópicas. Vamos decompor o termo geral em frações parciais e analisar a soma parcial.

Passo 2

Decompondo o termo geral em fração parcial:
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}.
Multiplicando em cruz:
A(n+2) + Bn = 1 \quad\Longrightarrow\quad (A+B)n + 2A = 1.
Igualando coeficientes:
A + B = 0, \quad 2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12,\; B = -\tfrac12.
Logo,
\frac{1}{n(n+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\Bigr).

Passo 3

Definindo a soma parcial até N:
S_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)} = \frac12 \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\Bigr).
Essa soma telescopa, pois os termos intermediários cancelam. Escrevendo alguns termos,
S_N = \frac12\Bigl((1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots + \tfrac{1}{N}) - (\tfrac13 + \tfrac14 + \cdots + \tfrac{1}{N+2})\Bigr) = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{N+1} - \tfrac{1}{N+2}\Bigr).

Passo 4

Fazendo N\to\infty, os termos \tfrac{1}{N+1} e \tfrac{1}{N+2} vão a zero. Assim,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12\Bigr) = \frac12 \cdot \frac32 = \frac34.

Resposta

\frac{3}{4}

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