Mostre que a função f(x) = cos(x) - x tem pelo menos uma raiz real. Solução:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função tem pelo menos uma raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua. Sabemos que e são funções contínuas em todo o conjunto dos números reais. A soma ou diferença de funções contínuas também é contínua, então é contínua em qualquer intervalo.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores de sinais opostos em e , então ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Vamos escolher dois pontos simples para testar:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 5

Observamos que e . Como é contínua no intervalo e muda de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor em tal que .

Resposta

Portanto, a função possui pelo menos uma raiz real no intervalo .

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