Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
a) f(z)=e^x cos y+i e^x sen y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar que a função é analítica em domínios apropriados. Isso envolve entender o que são funções analíticas, que são funções complexas diferenciáveis em todos os pontos de um domínio. Para resolver isso, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que são essenciais para verificar se uma função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função f(z) = u(x, y) + i v(x, y) em suas partes reais e imaginárias. Sabemos que u(x, y) = e^x cos y , então:
v(x, y) = e^x sin y
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = e^x cos y e partial upartial y = -e^x sin y com relação a partial vpartial x = e^x sin y e partial vpartial y = e^x cos y :

Passo 4

As equações de Cauchy-Riemann dizem que para a função ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos verificar isso:
Primeira condição:
partial upartial x = e^x cos y = partial vpartial y
Segunda condição:
partial upartial y = -e^x sin y = -partial vpartial x

Passo 5

Como ambas as condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todos os e , concluímos que a função é analítica em todo o plano complexo.

Resposta

A função é analítica em todo o domínio dos números complexos.

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