Mostre que as funções multivalentes abaixo verificam as identidades indicadas:
arctan z=12 log (i+zi-z)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função multivalente coincide com a função multivalente
em . Vamos usar o fato de que duas funções multivalentes analíticas cujo domínio não é desconexo por um corte e que têm a mesma derivada só podem diferir por uma constante em cada folha.

Passo 2

Recordando a derivada da tangente inversa no plano complexo, temos
válido em .

Passo 3

Agora calculamos a derivada de
g(z)=i2,log!l(i+zi-zr)
Como
ddzl[log(i+z)r] =1i+z, ddzl[log(i-z)r] =-1i-z,
segue
g'(z) =i2l(1i+z-l(-1i-zr)r) =i2l(1i+z+1i-zr)
Colocando sobre um denominador comum:
g'(z) =i2;(i-z)+(i+z)(i+z)(i-z) =i2;2i,i^2 - z^2, =icdot2i2(-1 - z^2) =-2-2(1+z^2) =11+z^2

Passo 4

Concluímos que
g'(z)=11+z^2=ddz,arctan z,
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arctan z - g(z) é constante em cada folha. Para fixar a constante, basta avaliar em z=0:
arctan0=0, g(0)=i2log!l(i+0i-0r) =i2log(1)=0
Assim a constante é zero e as duas funções coincidem em cada folha.

Resposta

boxedarctan z ;=;i2,log!l(i+z,i-z,r)

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