Mostre que as funções multivalentes abaixo verificam as identidades indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função multivalente
coincide com a função multivalente
em . Vamos usar o fato de que duas funções multivalentes analíticas cujo domínio não é desconexo por um corte e que têm a mesma derivada só podem diferir por uma constante em cada folha.
Passo 2
Recordando a derivada da tangente inversa no plano complexo, temos
válido em .
Passo 3
Agora calculamos a derivada de
Como
segue
Colocando sobre um denominador comum:
Passo 4
Concluímos que
logo
é constante em cada folha. Para fixar a constante, basta avaliar em
:
Assim a constante é zero e as duas funções coincidem em cada folha.