Questão 13
Sejam
e
dois subconjuntos convexos do
.
(1) Mostre que
é um conjunto convexo.
(2) O conjunto
é um conjunto convexo? Justifique?
(1) Mostre que
(2) O conjunto
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são conjuntos convexos. Por definição, isso significa que, para quaisquer
e qualquer
, vale
e de modo análogo para
. Precisamos mostrar duas coisas:
- que
é convexo; - se
é convexo em geral.
Passo 2
Para provar que
é convexo, tomamos quaisquer
. Então
e
pertencem simultaneamente a
e a
. Seja
. Como
é convexo,
e como
é convexo,
Logo
o que mostra que toda combinação afim de pontos em
permanece em
. Portanto
é convexo.
Passo 3
Para ver se
é convexo, consideraríamos que, dados
e
e qualquer
, deveria ocorrer
Mas isso falha em geral quando
e
não pertencem ao mesmo conjunto convexo. Por exemplo, em
tome
Ambos são convexos, mas para
temos
Logo
não é convexo em geral.
Resposta
(1)
é convexo.
(2) não é, em geral, convexo (contraexemplo em
:
,
, mas
).
(2)