Questão 13

Sejam A e B dois subconjuntos convexos do R^n.
(1) Mostre que A cap B é um conjunto convexo.
(2) O conjunto A cup B é um conjunto convexo? Justifique?

Passo 1

O enunciado afirma que AsubseteqR^n e BsubseteqR^n são conjuntos convexos. Por definição, isso significa que, para quaisquer x,yin A e qualquer tin[0,1], vale
tx+(1-t)yin A,
e de modo análogo para B. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. que Acap B é convexo;
  2. se Acup B é convexo em geral.

Passo 2

Para provar que Acap B é convexo, tomamos quaisquer x,yin Acap B. Então x e y pertencem simultaneamente a A e a B. Seja tin[0,1]. Como A é convexo,
tx+(1-t)yin A,
e como B é convexo,
tx+(1-t)yin B
Logo
tx+(1-t)yin Acap B,
o que mostra que toda combinação afim de pontos em Acap B permanece em Acap B. Portanto Acap B é convexo.

Passo 3

Para ver se Acup B é convexo, consideraríamos que, dados xin A e yin B e qualquer tin[0,1], deveria ocorrer
tx+(1-t)yin Acup B
Mas isso falha em geral quando x e y não pertencem ao mesmo conjunto convexo. Por exemplo, em R tome
A=0, B=1
Ambos são convexos, mas para t=tfrac12 temos
tfrac12cdot0+tfrac12cdot1=0,5notin0,1=Acup B
Logo Acup B não é convexo em geral.

Resposta

(1) Acap B é convexo.
(2) Acup B não é, em geral, convexo (contraexemplo em R: A=0, B=1, mas 0,5notin Acup B).

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