Mostre que as funções não são diferenciáveis em (0,0).
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) ;\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
não é diferenciável no ponto (0,0). As informações relevantes que temos são a expressão da função para (x,y)\neq(0,0) e o valor dado em (0,0). A tarefa é concluir que a diferencial (ou derivada total) em (0,0) não existe.]

Passo 2

Uma maneira simples de atacar isso é verificar a continuidade em (0,0), porque diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto. Vamos avaliar a função ao longo dos eixos coordenados (essas são curvas simples que costumam revelar problemas).
Para a reta y=0 com x\neq0 temos
f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Logo, ao aproximarmos (x,0) para (0,0) (isto é, x\to0 mantendo y=0) os valores de f ficam sempre iguais a 1, portanto
\lim_{x\to0} f(x,0)=1.
Comparando com o valor da função no ponto, que é f(0,0)=0, vemos que a função não é contínua em (0,0), pois o limite ao longo da linha y=0 é 1\neq0. Como diferenciabilidade implica continuidade, a falta de continuidade já garante que f não é diferenciável em (0,0).

Passo 3

Para reforçar a intuição (e porque é útil ver outros sinais de não diferenciabilidade), calculamos as derivadas parciais em (0,0) usando a definição. A derivada parcial em relação a x em (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Mas, como vimos no Passo 2, f(h,0)=1 para todo h\neq0. Então
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{1-0}{h}=\frac{1}{h},
e o limite \lim_{h\to0}\frac{1}{h} não existe (é divergente). Portanto a derivada parcial em x em (0,0) não existe.
A derivada parcial em relação a y pode ser calculada pela definição análoga:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para x=0 e k\neq0 temos
f(0,k)=\frac{0-k^{3}}{0+k^{2}}=-k,
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\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{-k-0}{k}=-1,
e assim \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1. Ou seja, a derivada parcial em y existe e vale -1, mas a derivada parcial em x não existe.

Passo 4

Resumindo os fatos importantes que implicam a conclusão: (i) a função não é contínua em (0,0) porque ao longo da reta y=0 o limite é 1 e f(0,0)=0; (ii) diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto (portanto não pode ser diferenciável); (iii) alternativamente, já que uma das derivadas parciais (a de x) não existe, a função também não pode ser diferenciável em (0,0). Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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