não é diferenciável no ponto (0,0). As informações relevantes que temos são a expressão da função para (x,y)\neq(0,0) e o valor dado em (0,0). A tarefa é concluir que a diferencial (ou derivada total) em (0,0) não existe.]
Passo 2
Uma maneira simples de atacar isso é verificar a continuidade em (0,0), porque diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto. Vamos avaliar a função ao longo dos eixos coordenados (essas são curvas simples que costumam revelar problemas).
Logo, ao aproximarmos (x,0) para (0,0) (isto é, x\to0 mantendo y=0) os valores de f ficam sempre iguais a 1, portanto
\lim_{x\to0} f(x,0)=1.
Comparando com o valor da função no ponto, que é f(0,0)=0, vemos que a função não é contínua em (0,0), pois o limite ao longo da linha y=0 é 1\neq0. Como diferenciabilidade implica continuidade, a falta de continuidade já garante que f não é diferenciável em (0,0).
Passo 3
Para reforçar a intuição (e porque é útil ver outros sinais de não diferenciabilidade), calculamos as derivadas parciais em (0,0) usando a definição. A derivada parcial em relação a x em (0,0) é
e assim \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1. Ou seja, a derivada parcial em y existe e vale -1, mas a derivada parcial em x não existe.
Passo 4
Resumindo os fatos importantes que implicam a conclusão: (i) a função não é contínua em (0,0) porque ao longo da reta y=0 o limite é 1 e f(0,0)=0; (ii) diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto (portanto não pode ser diferenciável); (iii) alternativamente, já que uma das derivadas parciais (a de x) não existe, a função também não pode ser diferenciável em (0,0). Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).