Considere a superfície
de equação
.
(a) Determine o ponto
tal que o vetor
seja ortogonal ao plano tangente a
em
.
(b) Escreva a equação do plano tangente do item (a).
(a) Determine o ponto
(b) Escreva a equação do plano tangente do item (a).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar o ponto
tal que o vetor seja ortogonal ao plano tangente a em . - (b) Escrever a equação do plano tangente em
.
Informações dadas:
O vetor normal desejado (ortogonal ao plano tangente) é
.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): se a superfície é o gráfico de uma função
, com
, então uma forma conveniente de obter um vetor normal ao plano tangente em um ponto é usar a função
O gradiente de
,
é ortogonal ao nível
, que é exatamente a superfície
. Portanto
é um vetor normal ao plano tangente em cada ponto de
.
Vou explicar como calcular derivadas parciais simples:
trata
e
como constantes e deriva em relação a
. Para
temos
Como
, temos
,
e
. Assim o gradiente é
Passo 3
Condição de paralelismo/ortogonalidade: queremos que o vetor dado
seja normal ao plano tangente em
. Isso significa que
deve ser paralelo ao vetor
naquele ponto. “Paralelo” quer dizer que existe um escalar
tal que
Escrevendo isso explicitamente:
Isto gera um sistema de três equações escalares para
.
Passo 4
Resolvendo o sistema componente a componente:
- Primeira componente:
. Logo
- Segunda componente:
. Então
- Terceira componente:
. Então
Passo 5
Usando
na equação
obtemos
Já temos
e
.
Passo 6
Agora calculamos
na superfície
usando
. Substituindo
e
:
Portanto o ponto procurado é
Passo 7
Fórmula do plano tangente (aula rápida): se um plano tem vetor normal
e passa por um ponto
, sua equação é
Aqui podemos usar como normal o próprio vetor dado
(qualquer múltiplo serviria), e como ponto usamos
que encontramos.
Passo 8
Aplicando a fórmula com
e
:
Simplificando:
Calcule
. Assim
E
. Portanto a forma final simplificada é
ou, reorganizando,