Considere a superfície S de equação z=2 x^{2}+2 y^{2}.
(a) Determine o ponto P \in S tal que o vetor V=(0,1,-6) seja ortogonal ao plano tangente a S em P.
(b) Escreva a equação do plano tangente do item (a).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar o ponto P\in S tal que o vetor V=(0,1,-6) seja ortogonal ao plano tangente a S em P.
  • (b) Escrever a equação do plano tangente em P.
Informações dadas:
S:\\ z=2x^{2}+2y^{2}.
O vetor normal desejado (ortogonal ao plano tangente) é V=(0,1,-6).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): se a superfície é o gráfico de uma função z=f(x,y), com f(x,y)=2x^{2}+2y^{2}, então uma forma conveniente de obter um vetor normal ao plano tangente em um ponto é usar a função
F(x,y,z)=f(x,y)-z=2x^{2}+2y^{2}-z.
O gradiente de F,
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right),
é ortogonal ao nível F=0, que é exatamente a superfície S. Portanto \nabla F é um vetor normal ao plano tangente em cada ponto de S.
Vou explicar como calcular derivadas parciais simples: \frac{\partial}{\partial x} trata y e z como constantes e deriva em relação a x. Para f(x,y)=2x^{2}+2y^{2} temos
\frac{\partial f}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y.
Como F=f-z, temos \frac{\partial F}{\partial x}=4x, \frac{\partial F}{\partial y}=4y e \frac{\partial F}{\partial z}=-1. Assim o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=(4x,\,4y,\,-1).

Passo 3

Condição de paralelismo/ortogonalidade: queremos que o vetor dado V=(0,1,-6) seja normal ao plano tangente em P. Isso significa que V deve ser paralelo ao vetor \nabla F naquele ponto. “Paralelo” quer dizer que existe um escalar t tal que
\nabla F(x,y,z)=t\,V.
Escrevendo isso explicitamente:
(4x,\,4y,\,-1)=t(0,1,-6).
Isto gera um sistema de três equações escalares para x,y,t.

Passo 4

Resolvendo o sistema componente a componente:
  1. Primeira componente: 4x = t\cdot 0. Logo
4x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
  1. Segunda componente: 4y = t\cdot 1. Então
4y=t.
  1. Terceira componente: -1 = t\cdot(-6). Então
-1=-6t\quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{6}.

Passo 5

Usando t=\frac{1}{6} na equação 4y=t obtemos
4y=\frac{1}{6}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{24}.
Já temos x=0 e y=\frac{1}{24}.

Passo 6

Agora calculamos z na superfície S usando z=2x^{2}+2y^{2}. Substituindo x=0 e y=\frac{1}{24}:
z=2\cdot 0^{2}+2\left(\frac{1}{24}\right)^{2} =2\cdot \frac{1}{576} =\frac{2}{576}=\frac{1}{288}.
Portanto o ponto procurado é
P=\left(0,\\ \frac{1}{24},\\ \frac{1}{288}\right).

Passo 7

Fórmula do plano tangente (aula rápida): se um plano tem vetor normal n=(a,b,c) e passa por um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}), sua equação é
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Aqui podemos usar como normal o próprio vetor dado V=(0,1,-6) (qualquer múltiplo serviria), e como ponto usamos P que encontramos.

Passo 8

Aplicando a fórmula com n=(0,1,-6) e P=\left(0,\frac{1}{24},\frac{1}{288}\right):
0\cdot(x-0)+1\cdot\Big(y-\frac{1}{24}\Big)-6\cdot\Big(z-\frac{1}{288}\Big)=0.
Simplificando:
y-\frac{1}{24}-6z+6\cdot\frac{1}{288}=0.
Calcule 6\cdot\frac{1}{288}=\frac{6}{288}=\frac{1}{48}. Assim
y-6z-\frac{1}{24}+\frac{1}{48}=0.
E -\frac{1}{24}+\frac{1}{48}=-\frac{1}{48}. Portanto a forma final simplificada é
y-6z-\frac{1}{48}=0,
ou, reorganizando,
y-6z=\frac{1}{48}.

Resposta

\displaystyle P=\left(0,\frac{1}{24},\frac{1}{288}\right)
\displaystyle y-6z=\frac{1}{48}

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