Mostre que
, com qualquer matriz
.
Quantas matrizes
de tamanho
você consegue encontrar tais que
com quaisquer escolhas de
e
?
Quantas matrizes
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, mostrar que, para qualquer matriz quadrada
de ordem
e a matriz identidade
, vale
Em seguida, determinar todas as matrizes
tais que, para todo vetor
,
Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e a interpretação de colunas como imagens dos vetores da base padrão.
Passo 2
Para mostrar que
, escrevemos
. Mas
, o que dá
Logo
. De modo análogo,
portanto
.
Passo 3
Agora seja
uma matriz
com colunas
. Para todo
vale
Como isso deve ocorrer para quaisquer
, igualamos coeficientes:
– Para
:
.
– Para :
.
– Para :
para todo
, logo
.
– Para
– Para
Passo 4
Assim a única matriz que satisfaz a condição é
Não há liberdade: cada coluna ficou completamente determinada.
Resposta
Existe exatamente uma matriz
que realiza essa transformação, dada por