Mostre que A I=I A=A, com qualquer matriz n \times n A.
Quantas matrizes A de tamanho 3 \times 3 você consegue encontrar tais que
A\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x+y \\\ x-y \\\\ 0 \end{array}\right]
com quaisquer escolhas de x, y e z ?

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, mostrar que, para qualquer matriz quadrada A de ordem n e a matriz identidade I_n, vale
A\,I_n = I_n\,A = A.
Em seguida, determinar todas as matrizes A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}) tais que, para todo vetor \bigl[x,y,z\bigr]^T,
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+y\x-y\\\ 0\end{pmatrix}.
Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e a interpretação de colunas como imagens dos vetores da base padrão.

Passo 2

Para mostrar que A\,I_n = A, escrevemos \displaystyle (A\,I_n)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}\,(I_n)_{kj}. Mas (I_n)_{kj}=\delta_{kj}, o que dá
(A\,I_n)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}\,\delta_{kj} = a_{ij}.
Logo A\,I_n=A. De modo análogo,
( I_n\,A)_{ij} = \sum_{k=1}^n (I_n)_{ik}\,a_{kj} = \sum_{k=1}^n \delta_{ik}\,a_{kj} = a_{ij},
portanto I_n\,A=A.

Passo 3

Agora seja A uma matriz 3\times3 com colunas \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3. Para todo (x,y,z) vale
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = x\,\mathbf{c}_1 + y\,\mathbf{c}_2 + z\,\mathbf{c}_3 =\begin{pmatrix}x+y\x-y\\\ 0\end{pmatrix}.
Como isso deve ocorrer para quaisquer x,y,z, igualamos coeficientes:
– Para x: \mathbf{c}_1=(1,1,0)^T.
– Para y: \mathbf{c}_2=(1,-1,0)^T.
– Para z: z\,\mathbf{c}_3=(0,0,0)^T para todo z, logo \mathbf{c}_3=(0,0,0)^T.

Passo 4

Assim a única matriz que satisfaz a condição é
A=\bigl[\mathbf{c}_1\;\mathbf{c}_2\;\mathbf{c}_3\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Não há liberdade: cada coluna ficou completamente determinada.

Resposta

Existe exatamente uma matriz 3\times3 que realiza essa transformação, dada por
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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