\mathscr{P}_{2} é gerado por 1+x, x+x^{2}, 1+x^{2} ?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o espaço de polinômios de grau <=2, \mathscr{P}_{2}, é gerado pelo conjunto
S = \{\,1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\}.
Como \dim\mathscr{P}_{2}=3, basta mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes (ou equivalently que qualquer p(x)=ax^{2}+bx+c pode ser escrito como combinação linear deles).
Passo 2
Para usar coordenadas, escolhemos a base canônica \{1,x,x^{2}\}. Em coordenadas (c,b,a) (respectivamente coeficientes de 1,x,x^{2}), temos
Como \det(M)=2\neq0, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Num espaço de dimensão 3, três vetores independentes formam base, logo geram todo \mathscr{P}_{2}.
Resposta
Sim, \{1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\} gera \mathscr{P}_{2}.