\mathscr{P}_{2} é gerado por 1+x, x+x^{2}, 1+x^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o espaço de polinômios de grau <=2, \mathscr{P}_{2}, é gerado pelo conjunto
S = \{\,1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\}.
Como \dim\mathscr{P}_{2}=3, basta mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes (ou equivalently que qualquer p(x)=ax^{2}+bx+c pode ser escrito como combinação linear deles).

Passo 2

Para usar coordenadas, escolhemos a base canônica \{1,x,x^{2}\}. Em coordenadas (c,b,a) (respectivamente coeficientes de 1,x,x^{2}), temos
v_{1}=1+x \mapsto (1,1,0), \quad v_{2}=x+x^{2}\mapsto (0,1,1), \quad v_{3}=1+x^{2}\mapsto (1,0,1).

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(M) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} -0\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot1-0\cdot1)+1\cdot(1\cdot1-1\cdot0) =1+1=2.

Passo 4

Como \det(M)=2\neq0, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Num espaço de dimensão 3, três vetores independentes formam base, logo geram todo \mathscr{P}_{2}.

Resposta

Sim, \{1+x,\;x+x^{2},\;1+x^{2}\} gera \mathscr{P}_{2}.

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