Mostre por indução que:
(e) Se
e
são números reais então
.
(e) Se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: queremos mostrar que, para quaisquer números reais
e
, vale a desigualdade
para todo
. As informações relevantes são:
,
e
é um número natural (vamos entender
, embora a desigualdade também seja verdadeira para
). A tarefa é provar essa afirmação para todo
.
Passo 2
Estratégia de prova: usaremos o Princípio da Indução Matemática. Vou explicar rapidamente o que isso significa: para provar algo para todo
por indução, fazemos duas coisas:
- Base da indução: mostramos que a afirmação é verdadeira para um caso inicial (aqui tomaremos
). - Passo indutivo: assumimos que a afirmação é verdadeira para um certo
(hipótese indutiva) e provamos que daí segue que a afirmação é verdadeira para .
Se esses dois passos forem feitos, concluímos que a afirmação vale para todo.
Passo 3
Base da indução (
). Substituindo
na desigualdade que queremos provar, obtemos
Como
, o lado direito é
. Portanto a desigualdade fica
que é verdade (na verdade é igualdade). Logo a base
está comprovada.
Passo 4
Hipótese indutiva. Suponha que para algum
vale
Esta é a hipótese que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Multiplicando a hipótese indutiva por
. Como
e
, temos
. Multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a ordem; portanto, multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 6
Expandindo o produto do lado direito. Vou multiplicar termo a termo e agrupar resultados:
Agora calculamos cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Agrupando termos semelhantes e observando não negatividade. Juntando
e
obtemos
. Assim a expansão do Passo 6 pode ser escrita como
Note que
é um natural (pelo menos
no nosso processo indutivo),
e
, então o termo
é não negativo:
Portanto
Passo 8
Concluindo o passo indutivo. Unindo os resultados dos Passos 5–7 temos
Assim mostramos que, se a desigualdade vale para
, então ela vale para
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 9
Conclusão final pela Indução Matemática. Como a desigualdade é verdadeira para
(Passo 3) e o passo indutivo foi estabelecido (Passos 4–8), segue pelo Princípio da Indução que a desigualdade
é verdadeira para todo
. Observação adicional: para
a desigualdade também é satisfeita, pois ambos os lados valem
.