Mostre por indução que:
(e) Se a>0 e x>0 são números reais então (a+x)^{n} \geqslant a^{n}+n x a^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: queremos mostrar que, para quaisquer números reais a>0 e x>0, vale a desigualdade
(a+x)^{n} \geqslant a^{n}+n x a^{n-1}
para todo n \in \mathbb{N}. As informações relevantes são: a>0, x>0 e n é um número natural (vamos entender \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, embora a desigualdade também seja verdadeira para n=0). A tarefa é provar essa afirmação para todo n.

Passo 2

Estratégia de prova: usaremos o Princípio da Indução Matemática. Vou explicar rapidamente o que isso significa: para provar algo para todo n\in\mathbb{N} por indução, fazemos duas coisas:
  1. Base da indução: mostramos que a afirmação é verdadeira para um caso inicial (aqui tomaremos n=1).
  2. Passo indutivo: assumimos que a afirmação é verdadeira para um certo k\in\mathbb{N} (hipótese indutiva) e provamos que daí segue que a afirmação é verdadeira para k+1.
    Se esses dois passos forem feitos, concluímos que a afirmação vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Substituindo n=1 na desigualdade que queremos provar, obtemos
(a+x)^{1} \geqslant a^{1} + 1\cdot x \, a^{0}.
Como a^{0}=1, o lado direito é a+x. Portanto a desigualdade fica
a+x \geqslant a+x,
que é verdade (na verdade é igualdade). Logo a base n=1 está comprovada.

Passo 4

Hipótese indutiva. Suponha que para algum k\in\mathbb{N} vale
(a+x)^{k} \geqslant a^{k} + k x a^{k-1}.
Esta é a hipótese que vamos usar para provar o caso k+1.

Passo 5

Multiplicando a hipótese indutiva por (a+x). Como a>0 e x>0, temos (a+x)>0. Multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a ordem; portanto, multiplicando ambos os lados por (a+x) obtemos
(a+x)^{k+1} \geqslant (a^{k} + k x a^{k-1})(a+x).

Passo 6

Expandindo o produto do lado direito. Vou multiplicar termo a termo e agrupar resultados:
(a^{k} + k x a^{k-1})(a+x) = a^{k}\cdot a + a^{k}\cdot x + k x a^{k-1}\cdot a + k x a^{k-1}\cdot x.
Agora calculamos cada termo:
a^{k}\cdot a = a^{k+1},
a^{k}\cdot x = x a^{k},
k x a^{k-1}\cdot a = k x a^{k},
k x a^{k-1}\cdot x = k x^{2} a^{k-1}.
Somando tudo:
(a^{k} + k x a^{k-1})(a+x) = a^{k+1} + x a^{k} + k x a^{k} + k x^{2} a^{k-1}.

Passo 7

Agrupando termos semelhantes e observando não negatividade. Juntando x a^{k} e k x a^{k} obtemos (k+1) x a^{k}. Assim a expansão do Passo 6 pode ser escrita como
a^{k+1} + (k+1) x a^{k} + k x^{2} a^{k-1}.
Note que k é um natural (pelo menos 1 no nosso processo indutivo), x>0 e a>0, então o termo k x^{2} a^{k-1} é não negativo:
k x^{2} a^{k-1} \geqslant 0.
Portanto
a^{k+1} + (k+1) x a^{k} + k x^{2} a^{k-1} \geqslant a^{k+1} + (k+1) x a^{k}.

Passo 8

Concluindo o passo indutivo. Unindo os resultados dos Passos 5–7 temos
(a+x)^{k+1} \geqslant a^{k+1} + (k+1) x a^{k} + k x^{2} a^{k-1} \geqslant a^{k+1} + (k+1) x a^{k}.
Assim mostramos que, se a desigualdade vale para k, então ela vale para k+1. Isso completa o passo indutivo.

Passo 9

Conclusão final pela Indução Matemática. Como a desigualdade é verdadeira para n=1 (Passo 3) e o passo indutivo foi estabelecido (Passos 4–8), segue pelo Princípio da Indução que a desigualdade
(a+x)^{n} \geqslant a^{n} + n x a^{n-1}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Observação adicional: para n=0 a desigualdade também é satisfeita, pois ambos os lados valem 1.

Resposta

(a+x)^{n} \geqslant a^{n}+n x a^{n-1},\\ \forall n \in \mathbb{N}

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