Use o PBO para mostrar que:
(b)
é irracional
(b)
Passo 1
O enunciado pede que eu use Prova por Contradição (PBO) para mostrar que
é irracional.
Informações e condições dadas (ou que posso assumir sem perda):
Informações e condições dadas (ou que posso assumir sem perda):
- Quero provar que não existem inteiros
e com tais que . - Posso, sem perda de generalidade, assumir que a fração
está em sua forma irredutível, isto é, (se não estiver, basta cancelar o máximo divisor comum).
Nada mais é necessário agora; na próxima etapa começo a prova por contradição.
Passo 2
O que é Prova por Contradição (PBO) e como vou usá-la aqui.
- PBO: para provar uma afirmação
, assumo temporariamente que a negação é verdadeira e mostro que isso leva a uma contradição (algo impossível, como uma afirmação e sua negação ao mesmo tempo). Então concluo que é falsa e, portanto, é verdadeira. - No nosso caso:
é “ é irracional”. A negação é “ é racional”, i.e., existe razão de inteiros que vale . Vou assumir isso e derivar uma contradição com a hipótese de que está em forma irredutível.
Passo 3
Assumo a negação: suponha que
é racional. Então existem inteiros
e
com
e
tais que
Aqui expliquei por que posso exigir
: se a fração não estiver reduzida, posso dividir
e
pelo máximo divisor comum e obter uma fração equivalente reduzida; a validade da contradição não é afetada.
Passo 4
Faço operações algébricas simples para eliminar a raiz. A partir de
elevo ao quadrado ambos os lados (isso é legítimo, todos os números envolvidos são reais):
Multiplico ambos os lados por
para obter uma igualdade entre inteiros:
Esta equação é central: ela diz que
é duas vezes
, ou seja,
é par (divisível por
).
Passo 5
Mostro um pequeno lema sobre paridade que vou usar: se o quadrado de um inteiro é par, então o inteiro é par. Explico passo a passo.
- Definições: um inteiro
é par se existe com . é ímpar se existe com . - Prova do lema (por contrarrecíproco simples): suponha que um inteiro
seja ímpar, . Então
que é da forma
, ou seja, é ímpar. Assim, se
fosse ímpar,
seria ímpar. Logo, se
é par,
não pode ser ímpar; portanto
deve ser par.
Aplicando isso à nossa igualdade , concluímos que
é par.
Aplicando isso à nossa igualdade
Passo 6
Como
é par, existe um inteiro
tal que
Substituo isso em
:
Calculando o quadrado do lado esquerdo:
Divido ambos os lados por
:
Esta nova igualdade mostra que
é par (porque é
vezes
). Pelo mesmo lema de paridade do Passo 5, se
é par então
também é par.
Passo 7
Agora temos que
é par e
é par. Isso significa que
divide
e
divide
, então
é um divisor comum de
e
. Portanto
. Mas isso contradiz a hipótese que eu havia imposto no Passo 3 de que
(a fração estava em forma irredutível). Obtive, a partir da suposição de que
é racional, uma contradição lógica (um mesmo par
não pode ser simultaneamente com
e ter ambos pares).
Passo 8
Conclusão final do PBO: como a suposição inicial (“
é racional”) levou a uma contradição, essa suposição é falsa. Logo, a afirmação desejada é verdadeira:
não é racional, isto é,
é irracional. Um comentário final para fixar: o ponto-chave foi usar paridade (par/ímpar) e a hipótese de que representamos a fração na forma irredutível; isso permite concluir que ambos
e
não podem ser pares simultaneamente.