Use o PBO para mostrar que:
(b) \sqrt{2} é irracional

Passo 1

O enunciado pede que eu use Prova por Contradição (PBO) para mostrar que \sqrt{2} é irracional.
Informações e condições dadas (ou que posso assumir sem perda):
  • Quero provar que não existem inteiros p e q com q\neq 0 tais que \sqrt{2}=\dfrac{p}{q}.
  • Posso, sem perda de generalidade, assumir que a fração \dfrac{p}{q} está em sua forma irredutível, isto é, \gcd(p,q)=1 (se não estiver, basta cancelar o máximo divisor comum).
    Nada mais é necessário agora; na próxima etapa começo a prova por contradição.

Passo 2

O que é Prova por Contradição (PBO) e como vou usá-la aqui.
  • PBO: para provar uma afirmação A, assumo temporariamente que a negação \lnot A é verdadeira e mostro que isso leva a uma contradição (algo impossível, como uma afirmação e sua negação ao mesmo tempo). Então concluo que \lnot A é falsa e, portanto, A é verdadeira.
  • No nosso caso: A é “ \sqrt{2} é irracional”. A negação \lnot A é “ \sqrt{2} é racional”, i.e., existe razão \dfrac{p}{q} de inteiros que vale \sqrt{2}. Vou assumir isso e derivar uma contradição com a hipótese de que \dfrac{p}{q} está em forma irredutível.

Passo 3

Assumo a negação: suponha que \sqrt{2} é racional. Então existem inteiros p e q com q\neq 0 e \gcd(p,q)=1 tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q}.
Aqui expliquei por que posso exigir \gcd(p,q)=1: se a fração não estiver reduzida, posso dividir p e q pelo máximo divisor comum e obter uma fração equivalente reduzida; a validade da contradição não é afetada.

Passo 4

Faço operações algébricas simples para eliminar a raiz. A partir de
\sqrt{2}=\frac{p}{q},
elevo ao quadrado ambos os lados (isso é legítimo, todos os números envolvidos são reais):
2=\frac{p^2}{q^2}.
Multiplico ambos os lados por q^2 para obter uma igualdade entre inteiros:
p^2=2q^2.
Esta equação é central: ela diz que p^2 é duas vezes q^2, ou seja, p^2 é par (divisível por 2).

Passo 5

Mostro um pequeno lema sobre paridade que vou usar: se o quadrado de um inteiro é par, então o inteiro é par. Explico passo a passo.
  • Definições: um inteiro n é par se existe m\in\mathbb{Z} com n=2m. n é ímpar se existe m\in\mathbb{Z} com n=2m+1.
  • Prova do lema (por contrarrecíproco simples): suponha que um inteiro p seja ímpar, p=2m+1. Então
p^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1=2(2m^2+2m)+1,
que é da forma 2(\text{inteiro})+1, ou seja, é ímpar. Assim, se p fosse ímpar, p^2 seria ímpar. Logo, se p^2 é par, p não pode ser ímpar; portanto p deve ser par.
Aplicando isso à nossa igualdade p^2=2q^2, concluímos que p é par.

Passo 6

Como p é par, existe um inteiro k tal que
p=2k.
Substituo isso em p^2=2q^2:
(2k)^2=2q^2.
Calculando o quadrado do lado esquerdo:
4k^2=2q^2.
Divido ambos os lados por 2:
2k^2=q^2.
Esta nova igualdade mostra que q^2 é par (porque é 2 vezes k^2). Pelo mesmo lema de paridade do Passo 5, se q^2 é par então q também é par.

Passo 7

Agora temos que p é par e q é par. Isso significa que 2 divide p e 2 divide q, então 2 é um divisor comum de p e q. Portanto \gcd(p,q)\ge 2. Mas isso contradiz a hipótese que eu havia imposto no Passo 3 de que \gcd(p,q)=1 (a fração estava em forma irredutível). Obtive, a partir da suposição de que \sqrt{2} é racional, uma contradição lógica (um mesmo par p,q não pode ser simultaneamente com \gcd(p,q)=1 e ter ambos pares).

Passo 8

Conclusão final do PBO: como a suposição inicial (“ \sqrt{2} é racional”) levou a uma contradição, essa suposição é falsa. Logo, a afirmação desejada é verdadeira: \sqrt{2} não é racional, isto é, \sqrt{2} é irracional. Um comentário final para fixar: o ponto-chave foi usar paridade (par/ímpar) e a hipótese de que representamos a fração na forma irredutível; isso permite concluir que ambos p e q não podem ser pares simultaneamente.

Resposta

\sqrt{2} é irracional.

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