Mostre que as integrais são independentes do caminho e determine seus valores.
\int_{(-1,0)}^{(5,1)} 2 x \operatorname{sen}(y) d x+\left(x^{2} \cos (y)-3 y^{2}\right) d y.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a integral de linha
\int_{(-1,0)}^{(5,1)} 2x\,\operatorname{sen}(y)\,dx+\bigl(x^{2}\cos(y)-3y^{2}\bigr)\,dy
é independente do caminho, e então determinar o valor dessa integral entre os pontos (-1,0) e (5,1).
Informações dadas e relevantes: a forma diferencial tem componentes
P(x,y)=2x\,\operatorname{sen}(y) \qquad\text{e}\qquad Q(x,y)=x^{2}\cos(y)-3y^{2},
o intervalo de integração é entre os pontos \,(-1,0) e (5,1)\,. Não há singularidades explícitas (as funções são polinomiais e trigonométricas), ou seja, o campo está definido em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy em uma região simplesmente conexa é exata (ou o campo (P,Q) é conservativo) se e somente se as derivadas parciais cruzadas coincidirem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se isso ocorrer e a região for simplesmente conexa (por exemplo \mathbb{R}^{2}), então existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = \phi_x\,dx+\phi_y\,dy = P\,dx+Q\,dy,
e a integral de linha entre dois pontos depende só dos valores de \varphi nesses pontos:
\int_{A}^{B} P\,dx+Q\,dy = \varphi(B)-\varphi(A).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais cruzadas para verificar exatidão. Primeiro
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,\operatorname{sen}(y)\bigr) =2x\,\cos(y).
Agora
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\cos(y)-3y^{2}\bigr) =2x\,\cos(y).
Como \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2x\cos(y), a igualdade vale em toda \mathbb{R}^{2}. Como a região de definição é simplesmente conexa, a forma é exata e a integral é independente do caminho.

Passo 4

Agora vamos encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_x(x,y)=P(x,y)=2x\,\operatorname{sen}(y) \qquad\text{e}\qquad \phi_y(x,y)=Q(x,y)=x^{2}\cos(y)-3y^{2}.
Integramos \phi_x em relação a x:
\varphi(x,y)=\int 2x\,\operatorname{sen}(y)\,dx = x^{2}\operatorname{sen}(y) + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 5

Para determinar g(y), derivamos \varphi em relação a y e igualamos a Q:
\phi_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\operatorname{sen}(y)+g(y)\bigr) = x^{2}\cos(y) + g'(y).
Igualando a Q:
x^{2}\cos(y) + g'(y) = x^{2}\cos(y)-3y^{2}.
Cancelando x^{2}\cos(y) dos dois lados obtemos
g'(y) = -3y^{2}.
Integrando em y,
g(y) = \int -3y^{2}\,dy = -y^{3} + C,
onde C é constante (que não afeta diferenças de potencial). Portanto uma potencial válida é
\varphi(x,y)=x^{2}\operatorname{sen}(y)-y^{3}+C.

Passo 6

Como a integral é independente do caminho, basta calcular
\int_{(-1,0)}^{(5,1)} P\,dx+Q\,dy = \varphi(5,1)-\varphi(-1,0).
Calculemos \varphi(5,1) e \varphi(-1,0) (podemos tomar C=0 porque cancela na diferença):
\varphi(5,1)=5^{2}\operatorname{sen}(1)-1^{3}=25\operatorname{sen}(1)-1,
\varphi(-1,0)=(-1)^{2}\operatorname{sen}(0)-0^{3}=1\cdot 0 - 0 = 0.
Observação didática: \operatorname{sen}(1) está em radianos (a função trigonométrica em cálculo usa radianos por padrão).

Passo 7

Subtraindo,
\varphi(5,1)-\varphi(-1,0)=\bigl(25\operatorname{sen}(1)-1\bigr)-0=25\operatorname{sen}(1)-1.
Portanto a integral vale 25\operatorname{sen}(1)-1.

Resposta

A integral é independente do caminho (a forma é exata).
25\operatorname{sen}(1)-1

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