Mostre que as integrais são independentes do caminho e determine seus valores.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que a integral de linha
é independente do caminho, e então determinar o valor dessa integral entre os pontos
e
.
Informações dadas e relevantes: a forma diferencial tem componentes
Informações dadas e relevantes: a forma diferencial tem componentes
o intervalo de integração é entre os pontos
e
. Não há singularidades explícitas (as funções são polinomiais e trigonométricas), ou seja, o campo está definido em todo
.
Passo 2
Conceito útil (aula rápida): uma forma diferencial
em uma região simplesmente conexa é exata (ou o campo
é conservativo) se e somente se as derivadas parciais cruzadas coincidirem:
Se isso ocorrer e a região for simplesmente conexa (por exemplo
), então existe uma função potencial
tal que
e a integral de linha entre dois pontos depende só dos valores de
nesses pontos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais cruzadas para verificar exatidão. Primeiro
Agora
Como
, a igualdade vale em toda
. Como a região de definição é simplesmente conexa, a forma é exata e a integral é independente do caminho.
Passo 4
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Cancelando
dos dois lados obtemos
Integrando em
,
onde
é constante (que não afeta diferenças de potencial). Portanto uma potencial válida é
Passo 6
Como a integral é independente do caminho, basta calcular
Calculemos
e
(podemos tomar
porque cancela na diferença):
Observação didática:
está em radianos (a função trigonométrica em cálculo usa radianos por padrão).
Passo 7
Subtraindo,
Portanto a integral vale
.
Resposta
A integral é independente do caminho (a forma é exata).