Mostre que as integrais são independentes do caminho e determine seus valores.
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)}(2 x \operatorname{sen}(z)) d x+\left(z^{3}-e^{y}\right) d y+\left(x^{2} \cos (y)+3 y z^{2}\right) d z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)} \big(2x\operatorname{sen}(z)\big)\,dx+\big(z^{3}-e^{y}\big)\,dy+\big(x^{2}\cos(y)+3yz^{2}\big)\,dz
é independente do caminho e determinar o seu valor entre os pontos (1,1,1) e (1,2,3).\n
Informações relevantes que extraí do enunciado:\n
  • O diferencial a integrar é a 1-forma \omega = P\,dx+Q\,dy+R\,dz com
P(x,y,z)=2x\operatorname{sen}(z),\qquad Q(x,y,z)=z^{3}-e^{y},\qquad R(x,y,z)=x^{2}\cos(y)+3yz^{2}.
  • Os pontos inicial e final são (1,1,1) e (1,2,3).\n
    Observação importante (para ficar claro desde o começo): ao aplicar os testes de exatidão/conservatividade (feito nos passos seguintes) vou verificar se a 1-forma é exata. Se for exata em um domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^{3}), a integral é independente do caminho e podemos calcular o valor pela diferença de uma potencial. Não resolvo nada ainda; só organizei os dados e o que precisa ser mostrado.

Passo 2

Conceito e critério prático (aula rápida):\n
Uma 1-forma \omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz em \mathbb{R}^{3} é exata (ou o campo é conservativo) se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\varphi_x=P,\qquad \varphi_y=Q,\qquad \varphi_z=R.
Num domínio simplesmente conexo, uma condição necessária e suficiente (quando P,Q,R são contínuas e têm derivadas parciais contínuas) é que o rotor (curl) do campo seja nulo, isto é:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Vou calcular essas derivadas parciais para ver se a 1-forma é exata; se for, então a integral é independente do caminho e basta encontrar \varphi e avaliar \varphi nos extremos.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais (usando as funções dadas em Passo 1):\n
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x\operatorname{sen} z\big)=0.\n
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{3}-e^{y}\big)=0.\n
    Logo a primeira igualdade \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x é satisfeita.\n
    Agora as outras duas:\n
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(2x\operatorname{sen} z\big)=2x\cos z.\n
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\cos y+3yz^{2}\big)=2x\cos y.\n
    Comparando, obtemos \partial P/\partial z=2x\cos z e \partial R/\partial x=2x\cos y. Essas duas expressões não coincidem em geral (dependem de y e z de formas diferentes), portanto a igualdade \partial P/\partial z=\partial R/\partial x falha.\n
    Além disso,\n
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(z^{3}-e^{y}\big)=3z^{2}.\n
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\cos y+3yz^{2}\big)=-x^{2}\operatorname{sen} y+3z^{2}.\n
    Aqui também \partial Q/\partial z=3z^{2} não é igual a \partial R/\partial y=-x^{2}\operatorname{sen} y+3z^{2} em geral.\n
    Conclusão deste passo: tal como a 1-forma está escrita (com R=x^{2}\cos y+3yz^{2}), o rotor não é nulo; portanto a 1-forma NÃO é exata e a integral NÃO é, em geral, independente do caminho. Logo não existe um único valor para a integral que seja o mesmo para todo caminho entre os pontos, a menos que haja alguma informação adicional sobre os caminhos permitidos que torne a integral independente (o enunciado, como está, afirma independência do caminho; isso contradiz o teste).\n
    Comentário de interpretação prática: é muito comum, em exercícios, que a componente R tenha \cos z em vez de \cos y; se R fosse x^{2}\cos z+3yz^{2} então as igualdades do rotor seriam satisfeitas e o campo seria conservativo. Para dar uma solução útil de como proceder numa prova, a seguir vou mostrar detalhadamente como fazer quando a 1-forma é exata — isto é, assumindo o provável (pequeno) erro tipográfico \cos(y)\mapsto\cos(z). Se você quiser que eu mantenha exatamente o termo \cos(y) e trate da integral para caminhos específicos, posso fazer isso também, mas não vou pedir nada: vou seguir agora a via que leva a uma integral independente do caminho (caso R=x^{2}\cos z+3yz^{2}).

Passo 4

Assumindo que há um pequeno erro de impressão e que a forma correta é
\omega = 2x\operatorname{sen} z\,dx + (z^{3}-e^{y})\,dy + \big(x^{2}\cos z+3yz^{2}\big)\,dz,
vamos verificar rapidamente as derivadas parciais nessa versão:\n
  • \partial P/\partial y=0=\partial Q/\partial x (como antes),\n
  • \partial P/\partial z=2x\cos z e \partial R/\partial x=2x\cos z (coincidem),\n
  • \partial Q/\partial z=3z^{2} e \partial R/\partial y=3z^{2} (coincidem).\n
    Logo o rotor é zero e a 1-forma é exata em \mathbb{R}^{3}. Agora procuramos uma potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=(P,Q,R).\n
    Integramos passo a passo:\n
  1. Integrar \varphi_x=P=2x\operatorname{sen} z em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int 2x\operatorname{sen} z\,dx = x^{2}\operatorname{sen} z + C_{1}(y,z),
onde C_{1} é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.\n
2) Derivar a expressão obtida em relação a y e igualar a Q:
\varphi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\operatorname{sen} z + C_{1}(y,z)\big)=C_{1,y}(y,z).
Como \varphi_y deve ser Q=z^{3}-e^{y}, temos
C_{1,y}(y,z)=z^{3}-e^{y}.
Integrando em relação a y:
C_{1}(y,z)=\int (z^{3}-e^{y})\,dy = y z^{3} - e^{y} + C_{2}(z),
onde C_{2} depende apenas de z.\n
3) Agora escrevemos \varphi com C_{1}:
\varphi(x,y,z)=x^{2}\operatorname{sen} z + y z^{3} - e^{y} + C_{2}(z).
Derivando em relação a z e igualando a R:
\varphi_z = x^{2}\cos z + 3y z^{2} + C_{2}'(z).
Como \varphi_z deve ser R=x^{2}\cos z+3y z^{2}, obtemos C_{2}'(z)=0, logo C_{2} é constante.\n
Portanto uma potencial válida (podemos tomar a constante zero) é
\varphi(x,y,z)=x^{2}\operatorname{sen} z + y z^{3} - e^{y}.

Passo 5

Agora, utilizando a propriedade fundamental das formas exatas (o integral de linha entre dois pontos é a diferença da potencial nos extremos), obtemos:
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)} \omega = \varphi(1,2,3)-\varphi(1,1,1).
Calculemos cada valor:\n
  • \displaystyle \varphi(1,2,3)=1^{2}\operatorname{sen} 3 + 2\cdot 3^{3} - e^{2} = \operatorname{sen} 3 + 2\cdot 27 - e^{2} = \operatorname{sen} 3 + 54 - e^{2}.\n
  • \displaystyle \varphi(1,1,1)=1^{2}\operatorname{sen} 1 + 1\cdot 1^{3} - e^{1} = \operatorname{sen} 1 + 1 - e.\n
    Subtraindo:
\varphi(1,2,3)-\varphi(1,1,1) = (\operatorname{sen} 3 + 54 - e^{2}) - (\operatorname{sen} 1 + 1 - e).
Organizando:
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)} \omega = 53 + \operatorname{sen} 3 - \operatorname{sen} 1 + e - e^{2}.

Passo 6

Resumo final e observação de cautela:\n
  • Se a forma vier exatamente como escrita originalmente com R=x^{2}\cos y+3yz^{2}, a 1-forma NÃO é exata (o rotor não é zero) e, portanto, a integral NÃO é independente do caminho em geral; nesse caso não existe um único valor independente do caminho a menos que sejam especificados caminhos particulares.\n
  • Se, como é muito provável por um erro de digitação, o termo correto for R=x^{2}\cos z+3yz^{2}, então a forma é exata, a integral é independente do caminho, e o seu valor entre (1,1,1) e (1,2,3) é
53 + \operatorname{sen} 3 - \operatorname{sen} 1 + e - e^{2}.

Resposta

53 + \operatorname{sen} 3 - \operatorname{sen} 1 + e - e^{2}

Exercícios relacionados