Mostre que as integrais são independentes do caminho e determine seus valores.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho e determinar o seu valor entre os pontos
e
.\n
Informações relevantes que extraí do enunciado:\n
Informações relevantes que extraí do enunciado:\n
- O diferencial a integrar é a 1-forma
com
- Os pontos inicial e final são
e .\n
Observação importante (para ficar claro desde o começo): ao aplicar os testes de exatidão/conservatividade (feito nos passos seguintes) vou verificar se a 1-forma é exata. Se for exata em um domínio simplesmente conexo (como), a integral é independente do caminho e podemos calcular o valor pela diferença de uma potencial. Não resolvo nada ainda; só organizei os dados e o que precisa ser mostrado.
Passo 2
Conceito e critério prático (aula rápida):\n
Uma 1-forma em
é exata (ou o campo é conservativo) se existe uma função escalar
tal que
Uma 1-forma
Num domínio simplesmente conexo, uma condição necessária e suficiente (quando
são contínuas e têm derivadas parciais contínuas) é que o rotor (curl) do campo seja nulo, isto é:
Vou calcular essas derivadas parciais para ver se a 1-forma é exata; se for, então a integral é independente do caminho e basta encontrar
e avaliar
nos extremos.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais (usando as funções dadas em Passo 1):\n
-
\n -
\n
Logo a primeira igualdadeé satisfeita.\n
Agora as outras duas:\n -
\n -
\n
Comparando, obtemose . Essas duas expressões não coincidem em geral (dependem de e de formas diferentes), portanto a igualdade falha.\n
Além disso,\n -
\n -
\n
Aqui tambémnão é igual a em geral.\n
Conclusão deste passo: tal como a 1-forma está escrita (com), o rotor não é nulo; portanto a 1-forma NÃO é exata e a integral NÃO é, em geral, independente do caminho. Logo não existe um único valor para a integral que seja o mesmo para todo caminho entre os pontos, a menos que haja alguma informação adicional sobre os caminhos permitidos que torne a integral independente (o enunciado, como está, afirma independência do caminho; isso contradiz o teste).\n
Comentário de interpretação prática: é muito comum, em exercícios, que a componentetenha em vez de ; se fosse então as igualdades do rotor seriam satisfeitas e o campo seria conservativo. Para dar uma solução útil de como proceder numa prova, a seguir vou mostrar detalhadamente como fazer quando a 1-forma é exata — isto é, assumindo o provável (pequeno) erro tipográfico . Se você quiser que eu mantenha exatamente o termo e trate da integral para caminhos específicos, posso fazer isso também, mas não vou pedir nada: vou seguir agora a via que leva a uma integral independente do caminho (caso ).
Passo 4
Assumindo que há um pequeno erro de impressão e que a forma correta é
vamos verificar rapidamente as derivadas parciais nessa versão:\n
-
(como antes),\n -
e (coincidem),\n -
e (coincidem).\n
Logo o rotor é zero e a 1-forma é exata em. Agora procuramos uma potencial tal que .\n
Integramos passo a passo:\n
- Integrar
em relação a :
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.\n
2) Derivar a expressão obtida em relação a e igualar a
:
2) Derivar a expressão obtida em relação a
Como
deve ser
, temos
Integrando em relação a
:
onde
depende apenas de
.\n
3) Agora escrevemos com
:
3) Agora escrevemos
Derivando em relação a
e igualando a
:
Como
deve ser
, obtemos
, logo
é constante.\n
Portanto uma potencial válida (podemos tomar a constante zero) é
Portanto uma potencial válida (podemos tomar a constante zero) é
Passo 5
Agora, utilizando a propriedade fundamental das formas exatas (o integral de linha entre dois pontos é a diferença da potencial nos extremos), obtemos:
Calculemos cada valor:\n
-
\n -
\n
Subtraindo:
Organizando:
Passo 6
Resumo final e observação de cautela:\n
- Se a forma vier exatamente como escrita originalmente com
, a 1-forma NÃO é exata (o rotor não é zero) e, portanto, a integral NÃO é independente do caminho em geral; nesse caso não existe um único valor independente do caminho a menos que sejam especificados caminhos particulares.\n - Se, como é muito provável por um erro de digitação, o termo correto for
, então a forma é exata, a integral é independente do caminho, e o seu valor entre e é
Resposta
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