Mostre que a integral
onde
é uma esfera de raio
centrada na origem.
(a) Use a função delta de Dirac
(b) Use o teorema do divergente.
Sugestão: use o resultado da letra (b) da primeira questão.
(a) Use a função delta de Dirac
(b) Use o teorema do divergente.
Sugestão: use o resultado da letra (b) da primeira questão.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
onde
é a esfera de raio
. O conteúdo é cálculo vetorial: vamos usar
- a propriedade da função delta de Dirac,
- o teorema da divergente (Gauss),
e também o resultado já conhecido (da outra questão) que
A partir daí é só aplicar essas ideias direitinho.
Passo 2
- A gente substitui direto
- Então
- A propriedade da delta em 3D é
.
Logo
Passo 3
Em vez de usar delta, vamos aplicar Gauss ao campo
.
- Primeiro reescrevemos
Isso é só a regra do produto para divergente.
2) Integrando em e usando Gauss:
2) Integrando em
e o segundo a gente calcula em coordenadas esféricas.
3) Sobre a superfície :
e
. Como
,
3) Sobre a superfície
- No segundo integral, note que
, então
Em esféricas
, logo
- Juntando tudo: