Mostre que a integral
J=integralE(r^2+2) nabla cdot(rr^2) d tau=8 pi
onde E é uma esfera de raio R centrada na origem.
(a) Use a função delta de Dirac
(b) Use o teorema do divergente.
Sugestão: use o resultado da letra (b) da primeira questão.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
J=integralE(r^2+2),nabla!cdot!l(hat rr^2r),dtau
onde nabla!cdot!l(hat rr^2r)=4pi,de é a esfera de raio . O conteúdo é cálculo vetorial: vamos usar
  1. a propriedade da função delta de Dirac,
  2. o teorema da divergente (Gauss),
    e também o resultado já conhecido (da outra questão) que
A partir daí é só aplicar essas ideias direitinho.

Passo 2

  1. A gente substitui direto
nabla!cdot!l(hat rr^2r)=4pi,de
  1. Então
J = integralE(r^2+2),4pi,de
  1. A propriedade da delta em 3D é
    J =4pi,(0^2+2)=8pi .
    Logo

Passo 3

Em vez de usar delta, vamos aplicar Gauss ao campo (r^2+2),nabla!cdot!l(hat rr^2r) =nabla!cdot!l[(r^2+2),hat rr^2r] -hat rr^2!cdot!nabla(r^2+2) .
  1. Primeiro reescrevemos
J=!integralEnabla!cdot!l[(r^2+2)tfrachat rr^2r]dtau -!integralEhat rr^2!cdot!nabla(r^2+2),dtau
Isso é só a regra do produto para divergente.
2) Integrando em ointS!(r^2+2),tfrachat rr^2!cdot!d S e usando Gauss:
ointS(R^2+2)1R^2,dS=(R^2+2),4pi
hat rr^2!cdot!2 r =2,rr^2=2r o primeiro termo vira integral de superfície:
integralE2r,dtau =2integral0^R!!r,dr;integral0^pi!!sintheta,dtheta;integral0^2pi!dphi =2cdotR^22cdot4pi =4pi R^2
e o segundo a gente calcula em coordenadas esféricas.
3) Sobre a superfície J=(R^2+2),4pi ;-;4pi R^2=8pi : e
. Como ,
  1. No segundo integral, note que
    , então
Em esféricas , logo
  1. Juntando tudo:

Resposta

.

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