Encontre o divergente da função v=rho(2+sen^2 emptyset) rho+rho sen emptyset cos emptyset widehatvarnothing+3 z z.

Passo 1

Beleza, a questão tá pedindo para a gente achar o divergente do campo
vec v(rho,varphi,z) =rhol(2+sin^2varphir),hatrho +rho,sinvarphicosvarphi,hatvarphi +3z,hat z
O conteúdo da matéria é “divergência em coordenadas cilíndricas” e, para resolver, vamos usar a fórmula do divergente nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

A fórmula do divergente em cilindricas (rho,varphi,z) é
nablacdotvec v =1rhopartial (rho,vrho)partial rho +1rhopartial vvarphipartial varphi +partial vzpartial z,
onde
vrho,;vvarphi,;vz
são as componentes do vetor vec v nas direções hatrho,hatvarphi,hat z.

Passo 3

Identificamos as componentes:
vrho=rhol(2+sin^2varphir), vvarphi=rho,sinvarphicosvarphi, vz=3z
Agora o primeiro termo:
1rhopartial(rho,vrho)partialrho =1rhopartiall[rhocdotrho(2+sin^2varphi)r]partialrho =1rhopartial[rho^2(2+sin^2varphi)]partialrho
Como 2+sin^2varphi não depende de rho,
partial[rho^2(2+sin^2varphi)]partialrho =2rho,(2+sin^2varphi),
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1rhotimes2rho,(2+sin^2varphi) =2(2+sin^2varphi) =4+2sin^2varphi

Passo 4

Segundo termo:
1rhopartial vvarphipartialvarphi =1rhopartial[rho,sinvarphicosvarphi]partialvarphi
Aqui rho é constante no derivar por varphi, então
partial[rho,sinvarphicosvarphi]partialvarphi =rho(cos^2varphi-sin^2varphi),
e dividindo por rho
cos^2varphi-sin^2varphi

Passo 5

Terceiro termo:
partial vzpartial z =partial(3z)partial z =3

Passo 6

Agora somamos todas as partes:
nablacdotvec v =(4+2sin^2varphi) +(cos^2varphi-sin^2varphi) +3
Juntando termos:
4+3=7, 2sin^2varphi-sin^2varphi+cos^2varphi =sin^2varphi+cos^2varphi=1,
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7+1=8

Resposta

O divergente do campo é
boxednablacdotvec v = 8

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