Seja
uma função escalar e
um campo vetorial
Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que
Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que
Passo 1
Beleza, então o exercício diz: seja
uma função escalar e
um campo vetorial. A gente precisa provar que
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: a gente vai usar a definição de divergência, a regra do produto para divergência e, claro, o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
Passo 2
Primeiro, lembra do Teorema da Divergência? Ele diz que, para qualquer campo vetorial
bem comportado num volume
com fronteira
, vale
Isso basicamente transforma uma integral de volume de divergência numa integral de superfície do próprio vetor.
Passo 3
Agora, precisamos de uma identidade importante: a regra do produto para divergência. Se
é escalar e
é vetorial, então
Isso vem de aplicar a definição de divergência componente a componente, lembrando da regra da cadeia.
Passo 4
A gente integra essa identidade sobre o volume
:
Isso significa
Passo 5
Agora aplica o Teorema da Divergência no lado esquerdo:
Passo 6
Juntando os dois resultados, temos
Basta agora isolar
:
[
\int_E f,(\nabla\cdot\vec A),d\tau
\oint_S f,\vec A\cdot d\vec a
;-;
\int_E \vec A\cdot(\nabla f),d\tau
;=;
-!\int_E \vec A\cdot(\nabla f),d\tau
;+;
\oint_S f,\vec A\cdot d\vec a.
]
;-;
\int_E \vec A\cdot(\nabla f),d\tau
;=;
-!\int_E \vec A\cdot(\nabla f),d\tau
;+;
\oint_S f,\vec A\cdot d\vec a.
]