Seja f uma função escalar e A um campo vetorial
Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que integralE f(nabla cdot A) d tau=-integralE A cdot(nabla f) d tau+ointS f A cdot d a

Passo 1

Beleza, então o exercício diz: seja integralE f,(nablacdotvec A),dtau ;=; -integralE vec Acdot(nabla f),dtau ;+;ointS f,vec Acdot dvec a uma função escalar e um campo vetorial. A gente precisa provar que
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: a gente vai usar a definição de divergência, a regra do produto para divergência e, claro, o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).

Passo 2

Primeiro, lembra do Teorema da Divergência? Ele diz que, para qualquer campo vetorial integralE nablacdotvec F ;dtau ;=;ointS vec Fcdot dvec a bem comportado num volume com fronteira , vale
Isso basicamente transforma uma integral de volume de divergência numa integral de superfície do próprio vetor.

Passo 3

Agora, precisamos de uma identidade importante: a regra do produto para divergência. Se nablacdotl(f,vec Ar) ;=; f,(nablacdotvec A);+;vec Acdot(nabla f) é escalar e é vetorial, então
Isso vem de aplicar a definição de divergência componente a componente, lembrando da regra da cadeia.

Passo 4

A gente integra essa identidade sobre o volume integralE nablacdotl(f,vec Ar),dtau ;=; integralE l[f,(nablacdotvec A);+;vec Acdot(nabla f)r],dtau :
integralE nablacdot(fvec A),dtau ;=; integralE f,(nablacdotvec A),dtau ;+; integralE vec Acdot(nabla f),dtau
Isso significa

Passo 5

Agora aplica o Teorema da Divergência no lado esquerdo:
integralE nablacdot(fvec A),dtau ;=; ointS f,vec Acdot dvec a

Passo 6

Juntando os dois resultados, temos
ointS f,vec Acdot dvec a ;=; integralE f,(nablacdotvec A),dtau ;+; integralE vec Acdot(nabla f),dtau
Basta agora isolar integralE f,(nablacdotvec A),dtau = ointS f,vec Acdot dvec a ;-; integralE vec Acdot(nabla f),dtau ;=; -!integralE vec Acdot(nabla f),dtau ;+; ointS f,vec Acdot dvec a :
[
\int_E f,(\nabla\cdot\vec A),d\tau

\oint_S f,\vec A\cdot d\vec a
;-;
\int_E \vec A\cdot(\nabla f),d\tau
;=;
-!\int_E \vec A\cdot(\nabla f),d\tau
;+;
\oint_S f,\vec A\cdot d\vec a.
]

Resposta

boxed integralE f,(nablacdotvec A),dtau ;=; -integralE vec Acdot(nabla f),dtau ;+; ointS f,vec Acdot dvec a

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