Mostre que a integral de linha
independe do caminho. Em seguida calcule a integral, se C for qualquer curva suave de
a
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
com
Ele pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho (isto é,
é conservativo) e, em seguida, calcular essa integral de um ponto
até
.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo em cada região onde está definida (isto é,
), comparamos as derivadas mistas:
e ,
logo .
Também
e ,
bem como
e .
Como todas as iguais se conferem, é conservativo e a integral independe do caminho.
e
logo
Também
e
bem como
e
Como todas as iguais se conferem,
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em
:
Derivando isso em
e igualando a
obtém-se
, logo
.
Finalmente,
Finalmente,
de onde
e
(constante desprezível).
Assim, uma escolha de potencial é
Assim, uma escolha de potencial é
Passo 4
Como a integral independe do caminho,
Em
:
,
,
,
Em
:
,
,
,
Logo