Mostre que a integral de linha
\int_{c}(\operatorname{tg} y+2 x y \operatorname{sec} z) d x+\left(x \operatorname{sec} ^{2} y+x^{2} \operatorname{sec} z\right) d y+\operatorname{sec} z\left(x^{2} y \operatorname{tg} z-\operatorname{sec} z\right) d z
independe do caminho. Em seguida calcule a integral, se C for qualquer curva suave de \mathrm{A}\left(2, \frac{\pi}{4}, 0\right) a B(3, \pi, \pi)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr)
com
P=\tan y+2xy\operatorname{sec} z,\quad Q=x\operatorname{sec}^2y+x^2\operatorname{sec} z,\quad R=\operatorname{sec} z\bigl(x^2y\tan z-\operatorname{sec} z\bigr)\,.
Ele pede para mostrar que a integral de linha
\int_CP\,dx+Q\,dy+R\,dz
é independente do caminho (isto é, \mathbf{F} é conservativo) e, em seguida, calcular essa integral de um ponto A(2,\tfrac\pi4,0) até B(3,\pi,\pi).

Passo 2

Para verificar que \mathbf{F} é conservativo em cada região onde está definida (isto é, \cos z\neq0), comparamos as derivadas mistas: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} =\operatorname{sec}^2y+2x\operatorname{sec} z
e \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} =\operatorname{sec}^2y+2x\operatorname{sec} z,
logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.
Também \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z} =2xy\operatorname{sec} z\tan z
e \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x} =2xy\operatorname{sec} z\tan z,
bem como \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z} =x^2\operatorname{sec} z\tan z
e \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y} =x^2\operatorname{sec} z\tan z.
Como todas as iguais se conferem, \mathbf{F} é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y,z) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=R.
Integramos P em x:
f(x,y,z)=\int\!(\tan y+2xy\operatorname{sec} z)\,dx =x\tan y+x^2y\operatorname{sec} z+h(y,z).
Derivando isso em y e igualando a Q obtém-se h_y=0, logo h(y,z)=g(z).
Finalmente,
\frac{\partial f}{\partial z} =x^2y\,\operatorname{sec} z\tan z+g'(z) \stackrel!=R =x^2y\,\operatorname{sec} z\tan z-\operatorname{sec}^2z,
de onde g'(z)=-\operatorname{sec}^2z e g(z)=-\tan z (constante desprezível).
Assim, uma escolha de potencial é
f(x,y,z)=x\tan y+x^2y\operatorname{sec} z-\tan z.

Passo 4

Como a integral independe do caminho,
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =f\bigl(B\bigr)-f\bigl(A\bigr).
Em A(2,\tfrac\pi4,0): \tan(\pi/4)=1, \sec0=1, \tan0=0,
f(A)=2\cdot1+2^2\cdot\tfrac\pi4\cdot1-0 =2+\pi.
Em B(3,\pi,\pi): \tan\pi=0, \operatorname{sec}\pi=-1, \tan\pi=0,
f(B)=3\cdot0+3^2\cdot\pi\cdot(-1)-0 =-9\pi.
Logo
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-9\pi-\bigl(2+\pi\bigr) =-10\pi-2.

Resposta

-10\pi-2

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