A força que atua em um ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) de um plano coordenado é \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\frac{4}{\|r\|^{3}} r \quad com \mathrm{r}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}. Ache o trabalho realizado por F ao longo da metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=a^{2} de (-a, 0) a(a, 0).

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
F(x,y)=\frac{4}{\|r\|^{3}}\,r,\quad r = x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j},
e pede o trabalho de F ao longo da metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=a^{2} que vai de (-a,0) até (a,0).
O conteúdo é linha integral de campo vetorial e uso de campo conservativo (potencial).

Passo 2

Vamos mostrar que F é conservativo, isto é, existe \varphi(x,y) tal que
\nabla\varphi = F.
Escolhemos
\varphi(x,y) = -\frac{4}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
De fato, escrevendo \rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\rho^{-1}\Bigr) = -\,\frac{x}{\rho^{3}}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\rho^{-1}\Bigr) = -\,\frac{y}{\rho^{3}},
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\nabla\varphi = -4\,\nabla\bigl(\rho^{-1}\bigr) = \Bigl(\frac{4x}{\rho^{3}},\,\frac{4y}{\rho^{3}}\Bigr) = \frac{4}{\|r\|^{3}}\,r = F(x,y).

Passo 3

Para campo conservativo, o trabalho depende só dos valores de \varphi nos pontos iniciais e finais:
W = \varphi\bigl(a,0\bigr)\;-\;\varphi\bigl(-a,0\bigr).
Como em ambos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=a, temos
\varphi(a,0)=\varphi(-a,0)=-\frac{4}{a},
portanto
W = -\frac{4}{a}-\Bigl(-\frac{4}{a}\Bigr)=0.

Resposta

O trabalho realizado por F ao longo da semi-circunferência é 0.

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