Mostre que
integral0^infty sin xx d x=pi2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de de até o infinito e mostrar que o resultado é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais impróprias e algumas técnicas de integração.

Passo 2

Vamos começar definindo a integral que queremos calcular:
integral0^infty sin xx , dx
Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos reescrever essa integral como um limite:
limA to infty integral0^A sin xx , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral I(A) = integral0^A sin xx , dx . Essa integral é conhecida como a Integral de Dirichlet, e ela tem uma propriedade especial que nos ajuda a resolver.
Para facilitar, vamos chamar essa integral de :

Passo 4

Para encontrar , vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Porém, nesse caso específico, é mais eficiente reconhecer que a integral de de a é um resultado bem conhecido na matemática, que resulta em .

Passo 5

Portanto, ao calcular o limite conforme limA to infty I(A) = limA to infty integral0^A sin xx , dx = pi2 tende ao infinito, temos:

Resposta

A integral é igual a .

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