Mostre que a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de matrizes aqui. A questão é mostrar que se uma matriz é invertível e simétrica, então a sua inversa também é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, o que é uma matriz invertível e como funciona a inversa de uma matriz. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é feita trocando as linhas pelas colunas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz inversa. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições.
Passo 4
Sabendo que
é simétrica, temos que
. Queremos provar que
também é simétrica, ou seja,
.
Passo 5
Vamos usar a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que
. Aplicando isso à equação
, temos:
Como
é simétrica,
. Então:
Passo 6
Comparando com a definição de matriz inversa, onde
, vemos que:
Portanto,
, o que significa que
é simétrica.
Resposta
A inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.