Mostre que a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de matrizes aqui. A questão é mostrar que se uma matriz é invertível e simétrica, então a sua inversa também é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, o que é uma matriz invertível e como funciona a inversa de uma matriz. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é feita trocando as linhas pelas colunas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a matriz inversa. Uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições.

Passo 4

Sabendo que é simétrica, temos que . Queremos provar que também é simétrica, ou seja, .

Passo 5

Vamos usar a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que (A cdot A^-1)^T = I^T . Aplicando isso à equação (A^-1)^T cdot A^T = I , temos:
(A^-1)^T cdot A = I
Como é simétrica, . Então:

Passo 6

Comparando com a definição de matriz inversa, onde (A^-1)^T cdot A = A^-1 cdot A , vemos que:
(A^-1)^T = A^-1
Portanto, , o que significa que é simétrica.

Resposta

A inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.

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