Mostre que
para um oscilador harmônico. Note que
é a raiz quadrada da média do quadrado do deslocamento (a raiz do deslocamento médio quadrático) do oscilador.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para mostrar que a média do quadrado da posição $ \langle x^{2} \rangle $ para o segundo estado ($ \psi_{2}(x) $) de um oscilador harmônico é igual a $ \frac{5}{2} \frac{\hbar}{(\mu k)^{1/2}} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica relacionados ao oscilador harmônico, como as funções de onda $ \psi_{n}(x) $ e os valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico quântico. É um sistema onde uma partícula está sujeita a uma força restauradora proporcional ao deslocamento, parecido com uma mola. As funções de onda $ \psi_{n}(x) $ que descrevem os estados quânticos do oscilador são conhecidas e envolvem polinômios de Hermite.
Passo 3
O valor esperado $ \langle x^{2} \rangle $ representa a média do quadrado da posição da partícula no estado $ \psi_{2}(x) $. Matematicamente, isso é dado pela integral:
Passo 4
Sabemos que as funções de onda $ \psi_{n}(x) $ para o oscilador harmônico são normalizadas, o que significa que:
Além disso, para calcular $ \langle x^{2} \rangle $, precisamos conhecer a forma específica de $ \psi_{2}(x) $.
Passo 5
A função de onda do segundo estado ($ n = 2 $) é dada por:
Onde $ H_{2}(y) $ é o polinômio de Hermite de ordem 2, que é $ H_{2}(y) = 4y^{2} - 2 $.
Passo 6
Substituindo $ H_{2} $ na expressão de $ \psi_{2}(x) $, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ \langle x^{2} \rangle $. Substituindo $ \psi_{2}(x) $ na integral:
Isso envolve integrar a função de onda multiplicada por $ x^{2} $ e novamente pela função de onda. Devido à complexidade da integral, utilizamos propriedades dos osciladores harmônicos e dos polinômios de Hermite para simplificar.
Passo 8
Usando as propriedades dos osciladores harmônicos e dos polinômios de Hermite, sabemos que para o estado $ n = 2 $:
Onde $ \omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} $, substituindo:
Resposta
Portanto, mostramos que para um oscilador harmônico no segundo estado, a média do quadrado da posição é: