No espectro infravermelho distante do H^79 Br existe uma série de linhas separadas por 16,72 cm^-1. Calcule os valores do momento de inércia e a separação internuclear no H^79 Br.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o espectro infravermelho distante da molécula H²⁷⁹Br, que apresenta uma série de linhas com um espaçamento de 16,72 cm⁻¹. O que precisamos encontrar são dois valores: o momento de inércia da molécula e a distância entre os dois núcleos (a separação internuclear).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre espectroscopia molecular, especificamente sobre a rotação molecular. Vamos usar fórmulas que relacionam a energia das linhas espectrais com o momento de inércia e a distância entre os átomos na molécula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma molécula diatômica como a H²⁷⁹Br, o momento de inércia (I) está relacionado à massa dos átomos e à distância entre eles ®. A fórmula para o momento de inércia é:
I = mu cdot r^2
Aqui, μ é a massa reduzida da molécula, que é calculada pela fórmula:
mu = m1 cdot m2m1 + m2
Onde $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas dos átomos de H e Br, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular a massa reduzida (μ). Primeiro, precisamos das massas dos átomos envolvidos. A massa atômica de H²⁷⁹Br é aproximadamente:
  • H (hidrogênio): 1,0079 u
  • Br (bromo-79): 78,9183 u
Então,
mu = 1,0079 cdot 78,91831,0079 + 78,9183
Calculando isso:
mu = 79,51279,9262 approx 0,994 , u
Para usar em unidades do Sistema Internacional, lembramos que 1 u = 1,6605 × 10⁻²⁷ kg:
mu approx 0,994 times 1,6605 times 10^-27 , kg
mu approx 1,651 times 10^-27 , kg

Passo 4

Agora, precisamos relacionar o espaçamento das linhas espectrais com o momento de inércia. Na espectroscopia rotacional, a energia dos níveis de rotação é dada por:
EJ = B cdot J(J + 1)
Onde B é a constante rotacional e J é o número quântico rotacional.
O espaçamento entre as linhas ($ \Delta \nu $) está relacionado a B pela fórmula:
De
E a constante rotacional B está relacionada ao momento de inércia pela fórmula:
De
Onde:
  • h é a constante de Planck (6,626 × 10⁻³⁴ J·s)
  • c é a velocidade da luz (3,00 × 10⁸ m/s)
  • I é o momento de inércia que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos agora rearranjar a fórmula para encontrar o momento de inércia I:
I = h8pi^2 c B
Como sabemos que $ \Delta \nu = 2B $, podemos reescrever B como:
De
B = De
B = 16,72 , cm^-12
Para usar nas nossas unidades, precisamos converter cm⁻¹ para SI. Sabemos que 1 cm⁻¹ = 100 m⁻¹, então:
B = 8,36 , cm^-1
B = 8,36 times 100 , m^-1

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do momento de inércia:
I = 6,626 times 10^-34 , J·s8 pi^2 cdot 3,00 times 10^8 , m/s cdot 836 , m^-1
Calculando o denominador primeiro:
8 pi^2 cdot 3,00 times 10^8 cdot 836 approx 8 times 9,87 times 3,00 times 10^8 times 836
approx 8 times 9,87 times 3,00 times 836 times 10^8
approx 8 times 9,87 times 3,00 times 836 times 10^8
approx 8 times 9,87 times 3,00 times 836 times 10^8
approx 8 times 9,87 times 3,00 times 836 times 10^8
approx 8 times 9,87 times 3 times 836 times 10^8
approx 8 times 9,87 times 2508 times 10^8
approx 8 times 24794 times 10^8
approx 198,352 times 10^8
approx 1,98352 times 10^10
Então,
I = 6,626 times 10^-341,98352 times 10^10
I approx 3,34 times 10^-44 , kg·m^2

Passo 7

Agora que temos o momento de inércia, podemos usar a fórmula $ I = \mu \cdot r^2 $ para encontrar a separação internuclear r.
Rearranjando a fórmula para encontrar r:
I = mu cdot r^2
Substituindo os valores que encontramos:
r = raizImu
r = raiz3,34 times 10^-44 , kg·m^21,651 times 10^-27 , kg
r = raiz2,025 times 10^-17 , m^2
r approx 4,5 times 10^-9 , m Å

Resposta

O momento de inércia do H^79 Br é aproximadamente 3,34 times 10^-44 , kg·m^2 e a separação internuclear é cerca de 4,5 , ÅÅ.

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