No espectro infravermelho distante do
existe uma série de linhas separadas por
. Calcule os valores do momento de inércia e a separação internuclear no
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o espectro infravermelho distante da molécula H²⁷⁹Br, que apresenta uma série de linhas com um espaçamento de 16,72 cm⁻¹. O que precisamos encontrar são dois valores: o momento de inércia da molécula e a distância entre os dois núcleos (a separação internuclear).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre espectroscopia molecular, especificamente sobre a rotação molecular. Vamos usar fórmulas que relacionam a energia das linhas espectrais com o momento de inércia e a distância entre os átomos na molécula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma molécula diatômica como a H²⁷⁹Br, o momento de inércia (I) está relacionado à massa dos átomos e à distância entre eles ®. A fórmula para o momento de inércia é:
Aqui, μ é a massa reduzida da molécula, que é calculada pela fórmula:
Onde $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas dos átomos de H e Br, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular a massa reduzida (μ). Primeiro, precisamos das massas dos átomos envolvidos. A massa atômica de H²⁷⁹Br é aproximadamente:
- H (hidrogênio): 1,0079 u
- Br (bromo-79): 78,9183 u
Então,
Calculando isso:
Para usar em unidades do Sistema Internacional, lembramos que 1 u = 1,6605 × 10⁻²⁷ kg:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar o espaçamento das linhas espectrais com o momento de inércia. Na espectroscopia rotacional, a energia dos níveis de rotação é dada por:
Onde B é a constante rotacional e J é o número quântico rotacional.
O espaçamento entre as linhas ($ \Delta \nu $) está relacionado a B pela fórmula:
E a constante rotacional B está relacionada ao momento de inércia pela fórmula:
Onde:
- h é a constante de Planck (6,626 × 10⁻³⁴ J·s)
- c é a velocidade da luz (3,00 × 10⁸ m/s)
- I é o momento de inércia que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos agora rearranjar a fórmula para encontrar o momento de inércia I:
Como sabemos que $ \Delta \nu = 2B $, podemos reescrever B como:
Para usar nas nossas unidades, precisamos converter cm⁻¹ para SI. Sabemos que 1 cm⁻¹ = 100 m⁻¹, então:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do momento de inércia:
Calculando o denominador primeiro:
Então,
Passo 7
Agora que temos o momento de inércia, podemos usar a fórmula $ I = \mu \cdot r^2 $ para encontrar a separação internuclear r.
Rearranjando a fórmula para encontrar r:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O momento de inércia do
é aproximadamente
e a separação internuclear é cerca de
.