Mostre que
\left|e^{i \theta}\right|=1;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \left|e^{i \theta}\right|=1. O conteúdo envolvido é números complexos, em particular a fórmula de Euler e a definição de módulo de um número complexo.

Passo 2

Pela fórmula de Euler temos
e^{i \theta} = \cos(\theta) + i\,\sin(\theta).

Passo 3

Seja z = e^{i \theta} = a + i\,b com a = \cos(\theta) e b = \sin(\theta). A definição de módulo diz que
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.

Passo 4

Aplicando em z acima resulta
\left|e^{i\theta}\right| = \sqrt{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)}.
E sabemos que
\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1.

Passo 5

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\left|e^{i\theta}\right| = \sqrt{1} = 1.

Resposta

\left|e^{i\theta}\right| = 1

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