Use a fórmula de de Moivre
(\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta))^{n}=\cos (n \theta)+i \cdot \operatorname{sen}(n \theta) ; \quad n \in \mathbb{Z}
para mostrar que \cos (2 \theta)=\cos ^{2} \theta-\operatorname{sen}^{2} \theta e \operatorname{sen}^{(2 \theta)}=2 \operatorname{sen}(\theta) \cos (\theta).

Passo 1

O enunciado pede para usar a fórmula de de Moivre
(\cos(\theta)+i\operatorname{sen}(\theta))^{n}=\cos(n\theta)+i\,\operatorname{sen}(n\theta)
com n=2 para deduzir as fórmulas de ângulo duplo. Vamos precisar do binômio de Newton para expandir (\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^2 e depois comparar parte real e imaginária com \cos(2\theta) e \operatorname{sen}(2\theta).

Passo 2

Aplicando n=2 na fórmula de de Moivre, temos
(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^2 \;=\;\cos(2\theta) + i\,\operatorname{sen}(2\theta).

Passo 3

Agora expandimos o lado esquerdo pelo binômio de Newton:
(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^2 = \cos^2\theta + 2\,\cos\theta\,(i\,\operatorname{sen}\theta) + (i\,\operatorname{sen}\theta)^2.
Como i^2=-1, isso vira
\cos^2\theta \;+\;2\,i\,\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta\;+\;(-1)\,\operatorname{sen}^2\theta =\cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta + i\,2\,\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta.

Passo 4

Comparando com \cos(2\theta) + i\,\operatorname{sen}(2\theta), obtemos as duas partes:
– a parte real:
\cos(2\theta)=\cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta,
– a parte imaginária:
\operatorname{sen}(2\theta)=2\,\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta.

Resposta

\cos(2\theta)=\cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta
\operatorname{sen}(2\theta)=2\,\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta

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