Mostre que a Lei dos Senos pode ser escrita
onde
é o raio do círculo circunscrito ao triânguo
.
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Incentro e circuncentro são os centros dos círculos inscrito e circunscrito, respectivamente. O primeiro é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos e o segundo é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados.
Incentro e circuncentro são os centros dos círculos inscrito e circunscrito, respectivamente. O primeiro é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos e o segundo é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo
com circunferência circunscrita de raio
, vale a relação
O que vamos usar é o fato de que, num círculo de raio
, a corda que subtende um ângulo central de medida
tem comprimento
. Também usaremos o teorema do ângulo inscrito, que diz que o ângulo inscrito vale a metade do ângulo central que subtende o mesmo arco.
Passo 2
Seja
o circuncentro de
. Considere o arco
da circunferência e note que o ângulo central correspondente é
, enquanto o ângulo inscrito no triângulo que vê esse mesmo arco é
. Pelo teorema do ângulo inscrito:
Nesse círculo de raio
, a corda
— que é exatamente o lado
do triângulo — vale
Passo 3
Repetindo o mesmo raciocínio para os outros lados, vemos que
Passo 4
Basta agora dividir cada expressão pelo seu respectivo seno:
e o mesmo vale para
e
.