Um observador O situado no topo de uma montanha vê dois outros A e B situados no nível do mar. Os observadores A e B medem os ângulos \alpha e \beta que as linha A O e B O formam com o plano horizontal e o observador O mede o ângulo A \widehat{O} B=\gamma. Conhecendo a distância \overline{A B}=d, calcule a altura da montanha.

Passo 1

O enunciado descreve a configuração triangular em que A e B estão ao nível do mar e O está no topo da montanha a uma altura h. Os ângulos de elevação medidos em A e B são \alpha e \beta, e o ângulo no vértice O entre as retas OA e OB é \gamma. A distância entre A e B no solo é d. Para encontrar h, vamos usar a relação entre ângulo de elevação e distância oblíqua (triângulo reto elevando até O) e o Teorema dos Cossenos no triângulo AOB.

Passo 2

Em cada ponto A e B temos um triângulo reto cuja hipotenusa é OA ou OB e cuja “altura” é h. Logo,
OA = \frac{h}{\sin(\alpha)},
OB = \frac{h}{\sin(\beta)}.

Passo 3

No triângulo AOB, o Teorema dos Cossenos dá
AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} - 2\,(OA)(OB)\cos(\gamma).
Substituindo OA e OB em função de h,
d^{2} = \Bigl(\frac{h}{\sin\alpha}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{h}{\sin\beta}\Bigr)^{2} - 2\,\frac{h}{\sin\alpha}\,\frac{h}{\sin\beta}\cos\gamma.
Isso é
d^{2} = h^{2}\Bigl(\frac{1}{\sin^{2}\alpha} + \frac{1}{\sin^{2}\beta} - \frac{2\cos\gamma}{\sin\alpha\,\sin\beta}\Bigr).

Passo 4

Isolando h^{2}, temos
h^{2} = \frac{d^{2}} {\displaystyle \frac{1}{\sin^{2}\alpha} + \frac{1}{\sin^{2}\beta} - \frac{2\cos\gamma}{\sin\alpha\,\sin\beta}} = d^{2}\, \frac{\sin^{2}\alpha\,\sin^{2}\beta} {\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta - 2\,\sin\alpha\,\sin\beta\,\cos\gamma}.
Portanto
h = d\;\frac{\sin\alpha\,\sin\beta} {\sqrt{\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta - 2\,\sin\alpha\,\sin\beta\,\cos\gamma}}.

Resposta

h = d\;\frac{\sin(\alpha)\,\sin(\beta)} {\sqrt{\sin^{2}(\alpha) + \sin^{2}(\beta) - 2\,\sin(\alpha)\,\sin(\beta)\,\cos(\gamma)}}.

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