Mostre que a Lei dos Senos pode ser escrita
\frac{a}{\operatorname{sen} \widehat{A}}=\frac{b}{\operatorname{sen} \widehat{B}}=\frac{c}{\operatorname{sen} \widehat{C}}=2 R
onde R é o raio do círculo circunscrito ao triânguo A B C.

  1. { }^{1} Incentro e circuncentro são os centros dos círculos inscrito e circunscrito, respectivamente. O primeiro é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos e o segundo é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo ABC com circunferência circunscrita de raio R, vale a relação
\frac{a}{\operatorname{sen}\widehat{A}} =\frac{b}{\operatorname{sen}\widehat{B}} =\frac{c}{\operatorname{sen}\widehat{C}} =2R.
O que vamos usar é o fato de que, num círculo de raio R, a corda que subtende um ângulo central de medida \theta tem comprimento 2R\sin(\theta/2). Também usaremos o teorema do ângulo inscrito, que diz que o ângulo inscrito vale a metade do ângulo central que subtende o mesmo arco.

Passo 2

Seja O o circuncentro de ABC. Considere o arco \widehat{BC} da circunferência e note que o ângulo central correspondente é \angle BOC, enquanto o ângulo inscrito no triângulo que vê esse mesmo arco é \widehat{A}. Pelo teorema do ângulo inscrito:
\angle BOC = 2\,\widehat{A}.
Nesse círculo de raio R, a corda BC — que é exatamente o lado a do triângulo — vale
a = BC = 2R\,\sin\bigl(\tfrac{1}{2}\angle BOC\bigr) =2R\,\sin\widehat{A}.

Passo 3

Repetindo o mesmo raciocínio para os outros lados, vemos que
b = CA = 2R\,\sin\widehat{B}, \qquad c = AB = 2R\,\sin\widehat{C}.

Passo 4

Basta agora dividir cada expressão pelo seu respectivo seno:
\frac{a}{\operatorname{sen}\widehat{A}} =\frac{2R\,\sin\widehat{A}}{\operatorname{sen}\widehat{A}} =2R,
e o mesmo vale para b/\operatorname{sen}\widehat{B} e c/\operatorname{sen}\widehat{C}.

Resposta

\frac{a}{\operatorname{sen}\widehat{A}} =\frac{b}{\operatorname{sen}\widehat{B}} =\frac{c}{\operatorname{sen}\widehat{C}} =2R.

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