De um triângulo A B C são dados os ângulos A, B e C e o perímetro 2 p=a+b+c. Obtenha as expressões abaixo que permitem calcular os lados a, b e c em função dos elementos dados.
a=\frac{p \operatorname{sen} \frac{\widehat{A}}{2}}{\cos \frac{\widehat{B}}{2} \cdot \cos \frac{\widehat{C}}{2}}, \quad b=\frac{p \operatorname{sen} \frac{\widehat{B}}{2}}{\cos \frac{\widehat{C}}{2} \cdot \cos \frac{\widehat{A}}{2}}, \quad c=\frac{p \operatorname{sen} \frac{\widehat{C}}{2}}{\cos \frac{\widehat{B}}{2} \cdot \cos \frac{\widehat{A}}{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo ABC com ângulos \widehat A,\widehat B,\widehat C e perímetro a+b+c=2p. Queremos expressar os lados a,b,c em função de p e dos meios-ângulos \tfrac{\widehat A}{2},\tfrac{\widehat B}{2},\tfrac{\widehat C}{2}. Para isso, vamos usar as fórmulas trigonométricas de meio-ângulo em triângulo, que relacionam \sin\tfrac{A}{2} e \cos\tfrac{A}{2} a a,b,c,p.

Passo 2

Em qualquer triângulo com semiperímetro p e lados a,b,c, as fórmulas de meio-ângulo são
\sin\frac{\widehat A}{2} =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}, \qquad \cos\frac{\widehat A}{2} =\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}},
e, ciclicamente,
\sin\frac{\widehat B}{2} =\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{ca}}, \quad \cos\frac{\widehat B}{2} =\sqrt{\frac{p(p-b)}{ca}},
\sin\frac{\widehat C}{2} =\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}, \quad \cos\frac{\widehat C}{2} =\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}.

Passo 3

Calculemos o produto \cos\tfrac{\widehat B}{2}\,\cos\tfrac{\widehat C}{2} usando as fórmulas acima:
\cos\frac{\widehat B}{2}\,\cos\frac{\widehat C}{2} =\sqrt{\frac{p(p-b)}{ca}}\;\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}} =\sqrt{\frac{p^2(p-b)(p-c)}{a^2bc}} =\frac{p}{a}\,\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}.

Passo 4

Agora formamos a razão
\frac{\sin\frac{\widehat A}{2}} {\cos\frac{\widehat B}{2}\,\cos\frac{\widehat C}{2}} =\frac{\displaystyle\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}} {\displaystyle\frac{p}{a}\,\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}} =\frac{a}{p}.
Multiplicando ambos os lados por p, obtemos
a=\frac{p\;\sin\frac{\widehat A}{2}} {\cos\frac{\widehat B}{2}\,\cos\frac{\widehat C}{2}}.

Passo 5

Pela simetria do triângulo (permuta cíclica de A\to B\to C e a\to b\to c), as mesmas contas levam a
b=\frac{p\;\sin\frac{\widehat B}{2}} {\cos\frac{\widehat C}{2}\,\cos\frac{\widehat A}{2}}, \qquad c=\frac{p\;\sin\frac{\widehat C}{2}} {\cos\frac{\widehat A}{2}\,\cos\frac{\widehat B}{2}}.

Resposta

a=\frac{p\;\sin\frac{\widehat A}{2}} {\cos\frac{\widehat B}{2}\,\cos\frac{\widehat C}{2}}, \quad b=\frac{p\;\sin\frac{\widehat B}{2}} {\cos\frac{\widehat C}{2}\,\cos\frac{\widehat A}{2}}, \quad c=\frac{p\;\sin\frac{\widehat C}{2}} {\cos\frac{\widehat A}{2}\,\cos\frac{\widehat B}{2}}.

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