Mostre que se 0 \leq \epsilon<\frac{1}{n}, para todo n \in \mathbb{N}, então \epsilon=0.

Passo 1

O enunciado afirma que temos um número real \epsilon tal que
0 \le \epsilon < \frac{1}{n}
para todo n\in\mathbb{N}. O objetivo é mostrar que isso só pode ocorrer quando \epsilon=0. Vamos usar o princípio arquimediano, que garante que, para qualquer real positivo, existe um inteiro maior do que o inverso desse real.

Passo 2

Suponha, por contradição, que \epsilon>0. Pelo princípio arquimediano, existe n\in\mathbb{N} tal que
n > \frac{1}{\epsilon}.

Passo 3

Da desigualdade n > \tfrac{1}{\epsilon} segue, ao inverter termos positivos, que
\frac{1}{n} < \epsilon.
Mas isso contradiz a hipótese de que \epsilon < \tfrac{1}{n} para todo n.

Passo 4

A contradição mostra que não podemos ter \epsilon>0. Como também é dado 0\le\epsilon, concluímos que
\epsilon = 0.

Resposta

\epsilon=0

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