Mostre que se
, para todo
, então
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos um número real
tal que
para todo
. O objetivo é mostrar que isso só pode ocorrer quando
. Vamos usar o princípio arquimediano, que garante que, para qualquer real positivo, existe um inteiro maior do que o inverso desse real.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
. Pelo princípio arquimediano, existe
tal que
Passo 3
Da desigualdade
segue, ao inverter termos positivos, que
Mas isso contradiz a hipótese de que
para todo
.
Passo 4
A contradição mostra que não podemos ter
. Como também é dado
, concluímos que