Sejam
e
subconjuntos não-vazios de números reais tais que todo número real pertence a
ou a
e se
e
, então
. Prove que existe um único número real
tal que todo número real menor do que
está em
e todo número real maior do que
está em
. Uma decomposição de
em dois conjuntos
e
com essas propriedades é um Corte de Dedekind. O resultado contido nesse exercício é conhecido como Teorema de Dedekind.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subconjuntos não-vazios de
tais que todo real pertence a
ou a
, e sempre que
e
vale
. Precisamos mostrar que existe um único
tal que todo real menor que
está em
e todo real maior que
está em
. O conteúdo central é o Axioma de Completude dos Reais: todo conjunto não-vazio e limitado superiormente tem supremo em
.
Passo 2
Como
e cada elemento de
é uma cota superior de
(pois para todo
e
temos
), concluímos que
é limitado superiormente. Pelo Axioma de Completude existe
Passo 3
Vamos verificar que esse
satisfaz as duas propriedades do corte de Dedekind:
-
Se
e , então . Mas então todo satisfaz , ou seja, seria uma cota superior de , implicando , contradizendo . Logo necessariamente . -
Se
e , então . Mas então , contradizendo . Portanto .
Assim
é tal que todo real menor que
fica em
e todo real maior que
fica em
.
Passo 4
Para ver unicidade, suponha que exista
também com a propriedade de que todo real menor que
está em
e todo real maior que
está em
.
- Se
, então existe com (pois e não é cota superior). Mas implica , contradição. - Se
, então existe com (pois também). Mas implica , contradição.
Portanto não há outro
com essas propriedades.
Resposta
O número procurado existe e é único, e é dado por