Sejam A e B subconjuntos não-vazios de números reais tais que todo número real pertence a A ou a B e se a \in A e b \in B, então a<b. Prove que existe um único número real x tal que todo número real menor do que x está em A e todo número real maior do que x está em B. Uma decomposição de \mathbb{R} em dois conjuntos A e B com essas propriedades é um Corte de Dedekind. O resultado contido nesse exercício é conhecido como Teorema de Dedekind.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são subconjuntos não-vazios de \mathbb{R} tais que todo real pertence a A ou a B, e sempre que a\in A e b\in B vale a<b. Precisamos mostrar que existe um único x\in\mathbb{R} tal que todo real menor que x está em A e todo real maior que x está em B. O conteúdo central é o Axioma de Completude dos Reais: todo conjunto não-vazio e limitado superiormente tem supremo em \mathbb{R}.

Passo 2

Como A\neq\emptyset e cada elemento de B é uma cota superior de A (pois para todo a\in A e b\in B temos a<b), concluímos que A é limitado superiormente. Pelo Axioma de Completude existe
x = \sup A.

Passo 3

Vamos verificar que esse x satisfaz as duas propriedades do corte de Dedekind:
  1. Se p<x e p\notin A, então p\in B. Mas então todo a\in A satisfaz a<p, ou seja, p seria uma cota superior de A, implicando p\ge x, contradizendo p<x. Logo necessariamente p\in A.
  2. Se q>x e q\notin B, então q\in A. Mas então \sup A\ge q>x, contradizendo x=\sup A. Portanto q\in B.
Assim x é tal que todo real menor que x fica em A e todo real maior que x fica em B.

Passo 4

Para ver unicidade, suponha que exista y também com a propriedade de que todo real menor que y está em A e todo real maior que y está em B.
  • Se y<x, então existe a\in A com y<a\le x (pois x=\sup A e y não é cota superior). Mas a>y implica a\in B, contradição.
  • Se y>x, então existe b\in B com x\le b<y (pois x=\inf B também). Mas b<y implica b\in A, contradição.
Portanto não há outro y\neq x com essas propriedades.

Resposta

O número procurado existe e é único, e é dado por
x = \sup A = \inf B.

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