a) Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x}=0.
Dicas: Multiplique em cima e embaixo por 1+\cos (x), depois use a relação fundamental \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1 e o limite fundamental trigonométrico.
b) Encontre os valores de a e b que tornam a função
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{a^{2} \operatorname{sen}(4 x)}{x} \text { se } x<0 \\\ b \text { se } x=0 \\\ b^{2}+\left(\frac{1-\cos (x)}{x}\right) \text { sen }\left(\frac{1}{x}\right) \text { se } x>0 \end{array}\right.
contínua em x=0. Gabarito: Os pares (a, b) para que a f seja contínua são (0,0), \left(\frac{1}{2}, 1\right) e \left(-\frac{1}{2}, 0\right).

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a), pede \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x}\). Vamos usar racionalização e o limite fundamental \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\). Na **(b)**, temos \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{a^{2}\,\sin(4x)}{x},&x<0,\\\ b,&x=0,\\\ b^{2}+\displaystyle\frac{1-\cos(x)}{x}\,\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr),&x>0, \end{cases}
e queremos f\] contínua em \(0. Logo precisamos
  1. \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=b,
  2. \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=b.

Passo 2

Racionalizamos em \frac{1-\cos(x)}{x}:
\frac{1-\cos(x)}{x} =\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{x\,(1+\cos(x))} =\frac{1-\cos^{2}(x)}{x\,(1+\cos(x))} =\frac{\sin^{2}(x)}{x\,(1+\cos(x))}.
Escrevendo
\frac{\sin^{2}(x)}{x\,(1+\cos(x))} =\Bigl(\frac{\sin(x)}{x}\Bigr)\,\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)},
ao fazermos x\to0, temos \sin(x)/x\to1, \sin(x)\to0 e 1+\cos(x)\to2.

Passo 3

Logo
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x} =\;1\;\cdot\;\frac{0}{2} =0.

Passo 4

Agora a continuidade em 0.
Para x<0:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}a^{2}\,\frac{\sin(4x)}{x} =a^{2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin(4x)}{x} =a^{2}\cdot4 =4a^{2}.
Como f(0)=b, exige-se
b=4a^{2}.

Passo 5

Para x>0:
\lim_{x\to0^+}f(x) =b^{2}+\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos(x)}{x}\,\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr).
Mas \frac{1-\cos(x)}{x}\to0 e \sin(1/x) é limitado em [-1,1], então o produto tende a 0. Assim
\lim_{x\to0^+}f(x)=b^{2}.
Para continuidade, b^{2}=f(0)=b, ou seja
b^{2}-b=0\quad\Longrightarrow\quad b(b-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad b=0\text{ ou }b=1.

Passo 6

Juntando b=4a^{2} com as duas possibilidades de b:
  • Se b=0, então 4a^{2}=0\implies a=0.
  • Se b=1, então 4a^{2}=1\implies a=\pm\frac12.

Resposta

a) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0.
b) Os pares (a,b) que tornam f contínua em 0 são
(0,0),\quad\Bigl(\tfrac12,\,1\Bigr),\quad\Bigl(-\tfrac12,\,1\Bigr).

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