a) Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x}=0.
Dicas: Multiplique em cima e embaixo por 1+\cos (x), depois use a relação fundamental \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1 e o limite fundamental trigonométrico.
b) Encontre os valores de a e b que tornam a função
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{a^{2} \operatorname{sen}(4 x)}{x} \text { se } x<0 \\\ b \text { se } x=0 \\\ b^{2}+\left(\frac{1-\cos (x)}{x}\right) \text { sen }\left(\frac{1}{x}\right) \text { se } x>0 \end{array}\right.
contínua em x=0. Gabarito: Os pares (a, b) para que a f seja contínua são (0,0), \left(\frac{1}{2}, 1\right) e \left(-\frac{1}{2}, 0\right).
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a), pede \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x}\). Vamos usar racionalização e o limite fundamental \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\).
Na **(b)**, temos
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{a^{2}\,\sin(4x)}{x},&x<0,\\\ b,&x=0,\\\ b^{2}+\displaystyle\frac{1-\cos(x)}{x}\,\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr),&x>0, \end{cases}