Mostre que:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas igualdades de limites quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e
e
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a},
onde a é um número real qualquer. As informações relevantes são as próprias expressões dentro dos limites e que a variável x tende para +\infty.

Passo 2

Para lidar com limites de expressões da forma \big(1+\text{algo}\big)^{\text{algo}} é muito útil transformar a potência usando o logaritmo natural, porque o logaritmo transforma potências em produtos (isso simplifica bastante). Vou aplicar essa ideia ao primeiro limite. Defino
f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Tomando o logaritmo natural de f obtemos
\ln f(x)=x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Se eu conseguir calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln f(x), então, pela continuidade da função exponencial, terei
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\exp\!\left(\lim_{x\to+\infty}\ln f(x)\right).
Portanto a tarefa passa a ser calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).

Passo 3

Para analisar \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) faço a mudança u=\dfrac{1}{x}. Quando x\to+\infty temos u\to0^+. Reescrevendo,
x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln(1+u)}{u}.
Logo preciso calcular \displaystyle\lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1+u)}{u}. Vou mostrar que esse limite é 1. Para isso uso uma expressão integral do logaritmo e desigualdades simples.

Passo 4

Lembrando que para u>-1 se tem
\ln(1+u)=\int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt,
vou estimar essa integral quando u>0. Para t no intervalo [0,u] temos 1\le 1+t\le 1+u, portanto
\frac{1}{1+u}\le \frac{1}{1+t}\le 1.
Integrando essa desigualdade de t=0 até t=u obtemos
\int_{0}^{u}\frac{1}{1+u}\,dt \le \int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt \le \int_{0}^{u}1\,dt.
As integrais são fáceis:
\frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u.
Dividindo tudo por u>0
\frac{1}{1+u}\le \frac{\ln(1+u)}{u}\le 1.
Agora tome o limite quando u\to0^+. O lado esquerdo tende a 1 e o lado direito é 1, então pelo princípio do sanduíche (teorema do confronto)
\lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 5

Voltando à variável original, isso mostra que
\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=1.
Como \exp é contínua, aplicando exponencial obtemos
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e^{1}=e.
Esse completa a prova do primeiro limite.

Passo 6

Agora trato o caso geral com parâmetro a. Defino
g(x)=\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}.
Para x grande em módulo (especificamente para x>|a| se a for negativo), a quantidade 1+\dfrac{a}{x} é positiva, então a expressão está bem definida e faz sentido considerar o limite quando x\to+\infty. Tomando logaritmo:
\ln g(x)=x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right).
Faço a mudança v=\dfrac{a}{x}. Quando x\to+\infty temos v\to0. Reescrevendo,
x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right)=\frac{\ln(1+v)}{v}\,a.
Pelo resultado do Passo 4, \displaystyle\lim_{v\to0}\frac{\ln(1+v)}{v}=1. Assim
\lim_{x\to+\infty}\ln g(x)=a.
Aplicando exponencial (continuidade) segue
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a}.
Note que o caso a=0 dá trivialmente 1=e^{0}, e para a negativo basta escolher x grande o bastante para garantir positividade da base antes de tomar o limite.

Resposta

\displaystyle e \n \displaystyle e^{a}

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