Mostre que:
\ln (1+x)<x, se x>0.

Passo 1

Enunciado: provar que \ln(1+x)<x quando x>0.
Informações dadas:
  • Temos a função logaritmo natural aplicada a 1+x.
  • A condição do problema é x>0.
  • A tarefa é mostrar que, sob essa condição, o valor de \ln(1+x) é estritamente menor que x.

Passo 2

Defino a função auxiliar
f(x)=x-\ln(1+x).
Motivo: se eu mostrar que f(x)>0 para todo x>0, então isso é equivalente a \ln(1+x)<x. Agora vamos estudar f.

Passo 3

Vou calcular a derivada de f. Primeiro eu uso que a derivada de x em relação a x é 1. Em seguida, preciso da derivada de \ln(1+x). Pela regra da cadeia, a derivada de \ln(u) é u'/u; aqui u(x)=1+x tem derivada u'(x)=1. Portanto a derivada de \ln(1+x) é
\frac{1}{1+x}.
Assim
f'(x)=1-\frac{1}{1+x}.

Passo 4

Calculo e simplifico f'(x):
f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{1+x-1}{1+x}=\frac{x}{1+x}.
Observação importante: para x>0 temos 1+x>0, então o sinal de f'(x) é o mesmo do sinal de x. Logo, para todo x>0 vale
f'(x)=\frac{x}{1+x}>0.

Passo 5

Interpretação do sinal da derivada. Teorema (Valor Médio): se uma função é diferenciável num intervalo e sua derivada é positiva em todo esse intervalo, então a função é estritamente crescente nesse intervalo. Aplicando isso a f, como f'(x)>0 para todo x>0, f é estritamente crescente em (0,\infty).

Passo 6

Avalio f em 0 (ponto de referência):
f(0)=0-\ln(1+0)=0-\ln 1=0-0=0.
Como f é estritamente crescente em (0,\infty) e f(0)=0, para todo x>0 temos f(x)>f(0)=0. Ou seja,
x-\ln(1+x)>0\quad\text{para todo }x>0.

Passo 7

Reescrevendo a desigualdade obtida:
x-\ln(1+x)>0\quad\Longrightarrow\quad \ln(1+x)<x\quad\text{para todo }x>0.
Isso completa a prova.

Passo 8

(Sugestão alternativa curta, sem derivadas) Outra maneira simples: usar a representação integral
\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
Para t\in(0,x) temos 1+t>1, logo \frac{1}{1+t}<1. Integrando essa desigualdade em [0,x] obtemos
\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt<\int_{0}^{x}1\,dt=x,
o que dá a mesma conclusão de forma direta.

Resposta

\ln(1+x)<x para todo x>0.

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