Mostre que:
, se
.
Passo 1
Enunciado: provar que
quando
.
Informações dadas:
- Temos a função logaritmo natural aplicada a
. - A condição do problema é
. - A tarefa é mostrar que, sob essa condição, o valor de
é estritamente menor que .
Passo 2
Defino a função auxiliar
Motivo: se eu mostrar que
para todo
, então isso é equivalente a
. Agora vamos estudar
.
Passo 3
Vou calcular a derivada de
. Primeiro eu uso que a derivada de
em relação a
é
. Em seguida, preciso da derivada de
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
; aqui
tem derivada
. Portanto a derivada de
é
Assim
Passo 4
Calculo e simplifico
:
Observação importante: para
temos
, então o sinal de
é o mesmo do sinal de
. Logo, para todo
vale
Passo 5
Interpretação do sinal da derivada. Teorema (Valor Médio): se uma função é diferenciável num intervalo e sua derivada é positiva em todo esse intervalo, então a função é estritamente crescente nesse intervalo. Aplicando isso a
, como
para todo
,
é estritamente crescente em
.
Passo 6
Avalio
em
(ponto de referência):
Como
é estritamente crescente em
e
, para todo
temos
. Ou seja,
Passo 7
Reescrevendo a desigualdade obtida:
Isso completa a prova.
Passo 8
(Sugestão alternativa curta, sem derivadas) Outra maneira simples: usar a representação integral
Para
temos
, logo
. Integrando essa desigualdade em
obtemos
o que dá a mesma conclusão de forma direta.