Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas igualdades de limites quando
:
e
onde
é um número real qualquer. As informações relevantes são as próprias expressões dentro dos limites e que a variável
tende para
.
Passo 2
Para lidar com limites de expressões da forma
é muito útil transformar a potência usando o logaritmo natural, porque o logaritmo transforma potências em produtos (isso simplifica bastante). Vou aplicar essa ideia ao primeiro limite. Defino
Tomando o logaritmo natural de
obtemos
Se eu conseguir calcular
, então, pela continuidade da função exponencial, terei
Portanto a tarefa passa a ser calcular
.
Passo 3
Para analisar
faço a mudança
. Quando
temos
. Reescrevendo,
Logo preciso calcular
. Vou mostrar que esse limite é
. Para isso uso uma expressão integral do logaritmo e desigualdades simples.
Passo 4
Lembrando que para
se tem
vou estimar essa integral quando
. Para
no intervalo
temos
, portanto
Integrando essa desigualdade de
até
obtemos
As integrais são fáceis:
Dividindo tudo por
dá
Agora tome o limite quando
. O lado esquerdo tende a
e o lado direito é
, então pelo princípio do sanduíche (teorema do confronto)
Passo 5
Voltando à variável original, isso mostra que
Como
é contínua, aplicando exponencial obtemos
Esse completa a prova do primeiro limite.
Passo 6
Agora trato o caso geral com parâmetro
. Defino
Para
grande em módulo (especificamente para
se
for negativo), a quantidade
é positiva, então a expressão está bem definida e faz sentido considerar o limite quando
. Tomando logaritmo:
Faço a mudança
. Quando
temos
. Reescrevendo,
Pelo resultado do Passo 4,
. Assim
Aplicando exponencial (continuidade) segue
Note que o caso
dá trivialmente
, e para
negativo basta escolher
grande o bastante para garantir positividade da base antes de tomar o limite.