O enunciado diz apenas: "Mostre que \lim_{x\to-3} f(x) = -3".
O que está pedido: provar que, quando x se aproxima de -3, os valores de f(x) se aproximam de -3. Em linguagem formal: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que sempre que 0<|x+3|<\delta vale |f(x)+3|<\varepsilon.
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
O objetivo: \lim_{x\to-3} f(x) = -3.
Informações que faltam (e que são relevantes para uma demonstração concreta):
A definição explícita da função f (fórmula algébrica, definição por partes, gráfico, propriedades como continuidade, ou uma descrição que permita manipular f(x)+3).
Se a questão dependia de uma figura, tabela ou texto adicional, esse material não foi fornecido.
Conclusão deste passo: não há dados sobre f no enunciado, portanto não se pode realizar uma demonstração concreta sem mais informação. Nos passos seguintes vou explicar, de forma didática e passo a passo, os métodos que normalmente se usam para provar um limite do tipo pedido e mostrar exemplos típicos de como proceder numa prova de prova (para que saiba aplicar na prova se tiver a definição de f).
Passo 2
Explicando rigorosamente o que significa provar \lim_{x\to-3} f(x) = -3 (definição \varepsilon-\delta), com calma e sem pular etapas.
Definição formal: dizer que \lim_{x\to-3} f(x) = -3 significa:
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, sempre que }0<|x+3|<\delta,\text{ então }|f(x)+3|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é o quanto eu aceito que f(x) se afaste de -3 (um “raio” no eixo y).
\delta é o quão perto de -3 eu preciso pegar x (um “raio” no eixo x) para garantir que f(x) caia dentro do raio \varepsilon.
Raciocínio típico numa prova: dado um \varepsilon>0 arbitrário, manipula-se a expressão |f(x)+3| em função de |x+3| até conseguir uma desigualdade do tipo |f(x)+3|\leq C\cdot |x+3| (com C conhecido e finito) ou outra desigualdade que permita escolher \delta em função de \varepsilon. Depois escolhe-se \delta de forma conveniente (por exemplo \delta=\varepsilon/C ou \delta=\min\{\text{algo},1\}) e conclui-se a prova.
Passo 3
Métodos práticos que aparecem frequentemente em provas e como usá-los (cada um com explicação didática):
Substituição direta / continuidade:
Se a função f for conhecida e contínua em x=-3 e f(-3)=-3, então \lim_{x\to-3} f(x) = f(-3) = -3.
O conceito de continuidade: f é contínua em -3 se \lim_{x\to-3} f(x)=f(-3). Na prática, em provas, verifica-se se f é soma/produto/quotiente/composta de funções contínuas num ponto interior do domínio.
Simplificação algébrica (casos de forma indeterminada com cancelamento):
Muitas vezes f(x) tem uma expressão que se simplifica quando se cancela um fator (x+3). Exemplo típico: se f(x)=\dfrac{-3x-9}{x+3} para x\neq-3, então para x\neq-3
f(x)=\frac{-3(x+3)}{x+3}=-3.
Logo f(x)=-3 para todo x\neq-3, e assim |f(x)+3|=0<\varepsilon para qualquer \varepsilon — prova imediata do limite. Em provas: tente fatorar e cancelar fatores que geram a indeterminação.
Estrutura do tipo -3 + (x+3)\cdot g(x) com g limitada:
Se conseguir escrever f(x) = -3 + (x+3)\,g(x) onde g(x) é limitada num intervalo com ponto -3 (ou seja, existe M>0 com |g(x)|\le M perto de -3), então
|f(x)+3| = |x+3|\cdot |g(x)| \le M\,|x+3|.
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon/M (ou \delta=\min\{\varepsilon/M,1\} para garantir estar no intervalo onde g é limitada) para obter |f(x)+3|<\varepsilon. Este é um padrão muito comum (pense: termo que tende a zero multiplicado por algo limitado).
Teorema do confronto (squeeze theorem):
Se encontrar duas funções g,h tais que, num intervalo retirando -3,
g(x)\le f(x)\le h(x)
e \lim_{x\to-3} g(x) = \lim_{x\to-3} h(x) = -3, então por confronto \lim_{x\to-3} f(x) = -3. Útil quando f está “entalada” entre duas funções com mesmo limite.
Prova \varepsilon-\delta direta:
Quando possível manipular |f(x)+3| explicitamente em função de |x+3|, faça:
Comece: seja \varepsilon>0 arbitrário.
Encontre uma desigualdade do tipo |f(x)+3|\le \varphi(|x+3|) com \varphi(t)\to 0 quando t\to 0.
Escolha \delta tal que \varphi(\delta)\le\varepsilon. Então para 0<|x+3|<\delta tem-se |f(x)+3|<\varepsilon.
Esse é o procedimento padrão e é exatamente o formal que o examinador espera.
Passo 4
Mostrando com exemplos concretos para fixar a ideia (cada exemplo vem com a técnica usada e a prova completa, passo a passo).
Exemplo A — função constante:
Defina por exemplo f(x)=-3 para todo x. Então, para qualquer x, |f(x)+3|=0. Dado \varepsilon>0 qualquer, qualquer \delta>0 serve (por exemplo \delta=1). Assim \lim_{x\to-3} f(x)=-3. Comentário prático: se na prova a expressão de f simplifica para uma constante quando x\neq -3, a conclusão é imediata.
Exemplo B — cancelamento em racional (indeterminação removível):
Considere
f(x)=\frac{-3x-9}{x+3}\quad (x\neq -3).
Para x\neq -3 fatoramos:
f(x)=\frac{-3(x+3)}{x+3}=-3.
Logo para todo x\neq-3 tem-se f(x)=-3 e |f(x)+3|=0. Prova \varepsilon-\delta: dado \varepsilon>0 escolha qualquer \delta>0; para 0<|x+3|<\delta segue |f(x)+3|=0<\varepsilon. Portanto \lim_{x\to-3} f(x)=-3. Técnica usada: simplificação algébrica após fatoração.
Exemplo C — termo que tende a zero multiplicado por função limitada:
Considere
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Então, sempre que 0<|x+3|<\delta temos |f(x)+3|\le|x+3|<\delta=\varepsilon. Conclusão: \lim_{x\to-3} f(x)=-3. Técnica usada: escrever f como -3+(x+3)\cdot g(x) com g limitada e aplicar a escolha direta de \delta.
Passo 5
Dicas práticas para a prova — checklist quando a questão pedir mostrar um limite:
Procurar simplificações algébricas: fatorar, cancelar fatores (x+3) que geram indeterminação.
Verificar se a função é composta/soma/produto de funções contínuas: se sim, aplicar substituição direta.
Tentar escrever f(x) = -3 + (x+3)\cdot g(x) e verificar se g é limitada; se sim, use M e escolha \delta=\varepsilon/M.
Se tiver gráfico: observar a tendência dos pontos à esquerda e à direita de -3.
Lembre-se de construir a prova \varepsilon-\delta final quando exigido: comece com “Seja \varepsilon>0…” e termine escolhendo \delta e deduzindo |f(x)+3|<\varepsilon.
Se o enunciado for por comparação, tente encontrar funções que prendam f entre elas e use o teorema do confronto.
Passo 6
Resumo do que foi feito aqui e o que falta para uma demonstração concreta:
Expliquei a definição formal do limite e os métodos padrão para demonstrá-lo, com exemplos e provas \varepsilon-\delta.
No entanto, para provar exatamente \lim_{x\to-3} f(x) = -3 para a função f do enunciado é necessário conhecer a definição ou propriedades concretas de f (fórmula, gráfico, continuidade, ou informações equivalentes). Sem essa informação não é possível escrever a demonstração específica pedida.
Resposta
Impossível demonstrar porque a função f não foi fornecida; falta a definição ou informações sobre f necessárias para provar que \lim_{x\to-3} f(x)=-3.