[2] \lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{x-5}{x^{3}-7}\right). Como \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{3}-7\right)=20 \neq 0, podemos aplicar a propriedade [3]; então,
\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{x-5}{x^{3}-7}\right)=\frac{\lim _{x \rightarrow 3}(x-5)}{\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{3}-7\right)}=-\frac{1}{10}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x se aproxima de 3:
\lim_{x \rightarrow 3}\left(\frac{x-5}{x^{3}-7}\right).
Informações dadas que vamos usar:
  • O denominador no ponto é \lim_{x\rightarrow3}\left(x^{3}-7\right)=20, e isso é diferente de zero.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Vamos lembrar (de forma prática) uma propriedade essencial de limites que podemos aplicar aqui: se existem
\lim_{x\to a} f(x)=L\quad\text{e}\quad\lim_{x\to a} g(x)=M
com M\neq 0, então vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Intuição curta: quando o limite do denominador não é zero, podemos passar ao limite separadamente no numerador e no denominador e dividir os resultados — porque não há problema de divisão por zero. Em provas, antes de usar essa propriedade, sempre confirme que o limite do denominador é diferente de zero. Vou aplicar isso aqui porque já foi informado que \lim_{x\rightarrow3}\left(x^{3}-7\right)=20\neq0.

Passo 3

Explicar por que podemos calcular os limites de numerador e denominador “por substituição”: polinômios (como x-5 e x^{3}-7) são funções contínuas, isto é, para uma função contínua h vale
\lim_{x\to a} h(x)=h(a).
Portanto podemos simplesmente calcular h(3) para encontrar o limite quando x\to3.

Passo 4

Calcular o limite do numerador por substituição:
\lim_{x\rightarrow3}(x-5)=3-5=-2.
Mostrei o cálculo passo a passo: substituir x=3 em x-5 -2.

Passo 5

Calcular o limite do denominador por substituição:
\lim_{x\rightarrow3}\left(x^{3}-7\right)=3^{3}-7=27-7=20.
Novamente substituí x=3 em x^{3}-7 e fiz a subtração.

Passo 6

Como o limite do denominador é 20\neq0, aplicamos a propriedade do quociente de limites e obtemos
\lim_{x\rightarrow3}\left(\frac{x-5}{x^{3}-7}\right)=\frac{\lim_{x\rightarrow3}(x-5)}{\lim_{x\rightarrow3}\left(x^{3}-7\right)}=\frac{-2}{20}.
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{-2}{20}=-\frac{1}{10}.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (prático e amigo falando):
  • Sempre verifique primeiro se o denominador tende a zero. Se não tende a zero, aplique a propriedade do quociente e calcule por substituição quando as funções forem polinômios ou outras contínuas.
  • Se o denominador tender a zero (forma 0/0), não dá para usar essa propriedade: tente fatorar e cancelar, ou usar o cálculo de limites (por exemplo, regra de L’Hôpital quando apropriado).
  • Exemplo rápido de contraste: \lim_{x\to3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3} dá forma 0/0, mas factoriza como \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 e o limite é 6.

Resposta

-\dfrac{1}{10}

Exercícios relacionados