[2]
. Como
, podemos aplicar a propriedade [3]; então,
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas que vamos usar:
- O denominador no ponto é
, e isso é diferente de zero. - A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?
Passo 2
Vamos lembrar (de forma prática) uma propriedade essencial de limites que podemos aplicar aqui: se existem
com
, então vale
Intuição curta: quando o limite do denominador não é zero, podemos passar ao limite separadamente no numerador e no denominador e dividir os resultados — porque não há problema de divisão por zero. Em provas, antes de usar essa propriedade, sempre confirme que o limite do denominador é diferente de zero. Vou aplicar isso aqui porque já foi informado que
.
Passo 3
Explicar por que podemos calcular os limites de numerador e denominador “por substituição”: polinômios (como
e
) são funções contínuas, isto é, para uma função contínua
vale
Portanto podemos simplesmente calcular
para encontrar o limite quando
.
Passo 4
Calcular o limite do numerador por substituição:
Mostrei o cálculo passo a passo: substituir
em
dá
.
Passo 5
Calcular o limite do denominador por substituição:
Novamente substituí
em
e fiz a subtração.
Passo 6
Como o limite do denominador é
, aplicamos a propriedade do quociente de limites e obtemos
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (prático e amigo falando):
- Sempre verifique primeiro se o denominador tende a zero. Se não tende a zero, aplique a propriedade do quociente e calcule por substituição quando as funções forem polinômios ou outras contínuas.
- Se o denominador tender a zero (forma
), não dá para usar essa propriedade: tente fatorar e cancelar, ou usar o cálculo de limites (por exemplo, regra de L’Hôpital quando apropriado). - Exemplo rápido de contraste:
dá forma , mas factoriza como e o limite é .