Mostre que se \lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=0, então \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0. (Dica: Use o Teorema do Confronto.) Conclua, usando esse exercício e o anterior que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0 se, e somente se, \lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
\lim_{x\to a}|f(x)|=0,
então \lim_{x\to a}f(x)=0.
O conteúdo é o Teorema do Confronto (ou “Sanduíche”), que afirma: se g(x)\le h(x)\le k(x) perto de a e \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}k(x)=L, então \lim_{x\to a}h(x)=L.

Passo 2

Observamos que, para todo x no domínio de f,
-|f(x)| \;\le\; f(x)\;\le\;|f(x)|.
Como por hipótese \lim_{x\to a}|f(x)|=0, temos também
\lim_{x\to a}\bigl(-|f(x)|\bigr) =-\lim_{x\to a}|f(x)|=0.
Pelo Teorema do Confronto, segue que
\lim_{x\to a}f(x)=0.

Passo 3

Do exercício anterior sabemos também que
\lim_{x\to a}f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to a}|f(x)|=0.
Ou seja, já tínhamos provado a implicação contrária.

Passo 4

Com as duas direções mostradas, concluímos que
\lim_{x\to a}f(x)=0 \quad\text{se, e somente se,}\quad \lim_{x\to a}|f(x)|=0.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\iff\lim_{x\to a}|f(x)|=0.

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