Sejam f(x) e g(x) funções definidas em toda a reta real que satisfazendo f(x)^{2}+g(x)^{2}=4, para todo x \in \mathbb{R}. Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} x g(x)

Passo 1

O enunciado diz que existem funções f e g definidas em toda a reta real e que satisfazem, para todo x\in\mathbb{R},
f(x)^{2}+g(x)^{2}=4.
Queremos calcular
\lim_{x\to0}x\,g(x).
O conteúdo aqui é o uso do Teorema do Aperto (Squeeze Theorem) aplicando o fato de que g é limitada.

Passo 2

Da relação
f(x)^{2}+g(x)^{2}=4
vemos que f(x)^{2}\ge0, logo
g(x)^{2}=4 - f(x)^{2}\le4
e portanto
|g(x)|\le2
para todo x.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade |g(x)|\le2 por |x|, obtemos
|x\,g(x)|\le2\,|x|,
isto é, para todo x,
-2|x|\le x\,g(x)\le2|x|.
Como \lim_{x\to0}(-2|x|)=0 e \lim_{x\to0}2|x|=0, pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{x\to0}x\,g(x)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados