Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} \frac{x y+1}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o limite
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \frac{xy+1}{x^2-y^2}
não existe. Trata-se de um limite de função de duas variáveis e, para provar que ele não existe, iremos usar o teste por caminhos distintos: se a função tender a valores diferentes quando nos aproximamos de (1,-1) por duas curvas, o limite não existe.

Passo 2

Considere o caminho dado pela reta x=1. Substituindo na função, obtemos para y\neq -1:
\frac{xy+1}{x^2-y^2} =\frac{1\cdot y+1}{1-y^2} =\frac{y+1}{(1-y)(1+y)} =\frac{1}{1-y}.
Fazendo y\to -1, vem
\lim_{y\to-1}\frac{1}{1-y} =\frac{1}{1-(-1)} =\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora considere o caminho dado pela reta y=-1. Substituindo, para x\neq1:
\frac{xy+1}{x^2-y^2} =\frac{x(-1)+1}{x^2-(-1)^2} =\frac{1-x}{x^2-1} =\frac{1-x}{(x-1)(x+1)} =-\frac{1}{x+1}.
Fazendo x\to1, vem
\lim_{x\to1}\Bigl(-\frac{1}{x+1}\Bigr) =-\frac{1}{1+1} =-\frac{1}{2}.

Passo 4

Obtivemos dois valores distintos ao aproximar por caminhos diferentes:
\tfrac12 ao usar x=1 e -\tfrac12 ao usar y=-1. Como esses resultados não coincidem, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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