Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{|x y|}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y}{\lvert x\,y\rvert}
não existe. O conteúdo é análise de limite em várias variáveis e usaremos limites direcionais para concluir a não existência.

Passo 2

Considere a reta y = x aproximando-se de (0,0) com x\neq0. Nesse caso
x\,y = x\cdot x = x^2>0,
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\frac{x\,y}{\lvert x\,y\rvert} = \frac{x^2}{\lvert x^2\rvert} = \frac{x^2}{x^2} =1.
Portanto, ao longo de y=x temos
\lim_{x\to0} \frac{x\,x}{\lvert x\,x\rvert} = 1.

Passo 3

Considere agora a reta y = -x aproximando-se de (0,0) com x\neq0. Aqui
x\,y = x\cdot(-x) = -x^2<0,
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\frac{x\,y}{\lvert x\,y\rvert} = \frac{-x^2}{\lvert -x^2\rvert} = \frac{-x^2}{x^2} =-1.
Portanto, ao longo de y=-x temos
\lim_{x\to0} \frac{x\,(-x)}{\lvert x\,(-x)\rvert} = -1.

Passo 4

Como o limite ao longo de y=x 1 e ao longo de y=-x -1, há resultados diferentes dependendo da direção de aproximação. Logo, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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