Mostre que 
  ísubanel de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer mostrar que o conjunto 
 , que é formado por todos os números da forma 
  onde 
  e 
  são inteiros, é um subanel de 
 . Basicamente, isso significa que 
  deve ser fechado para as operações de adição e multiplicação, e também precisa ter os elementos inversos para a adição. Para resolver isso, vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a adição de dois elementos de 
  continua dentro de 
 . Se pegarmos dois elementos quaisquer 
  e 
 , a soma deles é:
Aqui, 
  e 
  também são inteiros porque a soma de inteiros é inteiro. Portanto, a soma está novamente no conjunto 
 .
Passo 3
Agora, vamos ver se a multiplicação de dois elementos de 
  também está dentro desse conjunto. Multiplicando 
  por 
 , temos:
Sabemos que 
 , então:
Rearranjando:
Novamente, 
  e 
  são inteiros, já que produtos e somas de inteiros são inteiros. Assim, o resultado da multiplicação também está em 
 .
Passo 4
Por último, precisamos garantir que para todo elemento 
  em 
 , exista o inverso aditivo, ou seja, 
 . Vamos ver:
Aqui, 
  e 
  também são inteiros, já que o inverso de um inteiro é outro inteiro. Portanto, o inverso aditivo também está em 
 .
Resposta
Como verificamos que 
  está fechado para adição e multiplicação, e que possui os inversos aditivos, podemos concluir que 
  é de fato um subanel de 
 .