Mostre que \mathbb{Z}[i] (inteiros de Gauss) é um domínio euclidiano com \varphi(a+b i)=a^{2}+b^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o anel dos inteiros de Gauss \mathbb{Z}[i] é um domínio euclidiano quando equipamos cada elemento a+bi com a função
\varphi(a+bi)=a^2+b^2.
Para isso precisamos lembrar a definição de domínio euclidiano: dado qualquer par \alpha,\beta\in\mathbb{Z}[i] com \beta\neq0, devemos encontrar q,r\in\mathbb{Z}[i] tais que