Mostre que \mathbb{Z}[i] (inteiros de Gauss) é um domínio euclidiano com \varphi(a+b i)=a^{2}+b^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o anel dos inteiros de Gauss \mathbb{Z}[i] é um domínio euclidiano quando equipamos cada elemento a+bi com a função
\varphi(a+bi)=a^2+b^2.
Para isso precisamos lembrar a definição de domínio euclidiano: dado qualquer par \alpha,\beta\in\mathbb{Z}[i] com \beta\neq0, devemos encontrar q,r\in\mathbb{Z}[i] tais que
\alpha=\beta q+r \quad\text{e}\quad r=0\quad\text{ou}\quad\varphi(r)<\varphi(\beta).

Passo 2

Vamos começar dividindo os complexos como em \mathbb{C}. Defina
z=\frac{\alpha}{\beta}\in\mathbb{C}.
Como o conjunto \mathbb{Z}[i] forma a rede quadrada de malha unitária no plano complexo, existe sempre um inteiro de Gauss q\in\mathbb{Z}[i] tal que
\bigl|z-q\bigr|\le\frac{\sqrt2}{2}.
Esse fato se deve ao máximo de distância de um ponto de um quadrado de lado 1 ao seu vértice mais próximo.

Passo 3

Agora definimos o resto
r=\alpha-\beta\,q.
Claramente \alpha=\beta q+r e q\in\mathbb{Z}[i], r\in\mathbb{Z}[i]. Falta verificar a condição sobre \varphi(r).

Passo 4

Observe que
r=\beta\bigl(z-q\bigr) \quad\Longrightarrow\quad |r|=|\beta|\;|z-q|.
Lembrando que \varphi(w)=|w|^2, temos
\varphi(r) =|r|^2 =|\beta|^2\,|z-q|^2 =\varphi(\beta)\,|z-q|^2.
Como |z-q|\le\frac{\sqrt2}{2}, segue
\varphi(r)\le\varphi(\beta)\,\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)^2 =\frac12\,\varphi(\beta) <\varphi(\beta).
Logo r satisfaz a condição de resto menor em norma.

Resposta

Portanto \mathbb{Z}[i] é um domínio euclidiano com a função de Euclides
\varphi(a+bi)=a^2+b^2.

Exercícios relacionados