Use o algoritmo de Euclides em \mathbb{R}[x] para encontrar \operatorname{MDC}\left(x^{3}+2 x+1, x^{2}+1\right).

Passo 1

Queremos calcular \operatorname{MDC}(f,g) em \mathbb{R}[x], onde
f(x)=x^{3}+2x+1, \qquad g(x)=x^{2}+1
usando o algoritmo de Euclides, que consiste em dividir sucessivamente e pegar o resto de cada divisão, até obter resto constante.

Passo 2

Dividimos f por g. Encontramos um quociente e um resto tais que
x^{3}+2x+1 = x\,(x^{2}+1) + (x+1).
Logo o primeiro resto é
r_{1}(x)=x+1.

Passo 3

Agora dividimos g por r_{1}. Escrevemos
x^{2}+1 = (x-1)\,(x+1) + 2.
Portanto o segundo resto é
r_{2}(x)=2,
que é um polinômio de grau zero (constante não nula).

Passo 4

Como nåo podemos continuar (o resto é constante não nulo), o algoritmo termina e o \operatorname{MDC} é esse resto, até fator constante. Em \mathbb{R}[x] todos os escalares não nulos são invertíveis, então tomamos o monic-gcd igual a 1.

Resposta

\displaystyle \operatorname{MDC}\bigl(x^{3}+2x+1,\;x^{2}+1\bigr)=1.

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