Mostre que, quando a média for calculada em relação à posição durante um ciclo, a energia potencial média será diferente da energia cinética média. Comente sua resposta.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente mostrar que, se em vez de fazer a média no tempo a gente faz a média em relação à posição para um oscilador harmônico, as energias potencial e cinética médias NÃO vão ser iguais. Isso é conteúdo de Mecânica (Oscilador Harmônico Simples) e a gente vai precisar das expressões
  • Energia potencial: lang<= frang<=x=12Aintegral-A^Af(x),dx
  • Energia cinética:
    e saber como definir uma média uniforme em , ou seja

Passo 2

Primeiro, vamos escrever direitinho a média da energia potencial sobre lang<= Urang<=x =12Aintegral-A^A12,k,x^2,dx =k4Aintegral-A^Ax^2,dx . A normalização é porque vai de a igualmente:
Lembra que

Passo 3

Substituindo esse resultado, dá
lang<= Urang<=x =k4Acdot2A^33 =kA^26 =13!(12,kA^2) =E3,
já que a energia total .

Passo 4

Agora a média da energia cinética é
lang<= Krang<=x =12Aintegral-A^A12,momega^2l(A^2-x^2r),dx =momega^24Aintegral-A^Al(A^2-x^2r),dx
O integral lang<= Krang<=x =momega^24Acdot4A^33 =momega^2A^23 =23!(tfrac12,momega^2A^2) =2E3
Logo

Passo 5

Pronto! A gente achou
lang<= Urang<=x=E3, lang<= Krang<=x=2E3,
ou seja são diferentes. Isso acontece porque, ao fazer média em uniformemente, a gente não leva em conta que o oscilador passa mais tempo perto das extremidades (onde é grande), então “subestima” em relação ao que rolava na média temporal, em que e dão cada.

Resposta

A média da energia potencial sobre posição é e a da cinética é , logo são diferentes.

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