Mostre que, quando a média for calculada em relação à posição durante um ciclo, a energia potencial média será diferente da energia cinética média. Comente sua resposta.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente mostrar que, se em vez de fazer a média no tempo a gente faz a média em relação à posição para um oscilador harmônico, as energias potencial e cinética médias NÃO vão ser iguais. Isso é conteúdo de Mecânica (Oscilador Harmônico Simples) e a gente vai precisar das expressões
- Energia potencial:
- Energia cinética:
e saber como definir uma média uniforme em, ou seja
Passo 2
Primeiro, vamos escrever direitinho a média da energia potencial sobre
. A normalização é
porque
vai de
a
igualmente:
Lembra que
Passo 3
Substituindo esse resultado, dá
já que a energia total
.
Passo 4
Agora a média da energia cinética é
O integral
Logo
Logo
Passo 5
Pronto! A gente achou
ou seja são diferentes. Isso acontece porque, ao fazer média em
uniformemente, a gente não leva em conta que o oscilador passa mais tempo perto das extremidades (onde
é grande), então “subestima”
em relação ao que rolava na média temporal, em que
e
dão
cada.
Resposta
A média da energia potencial sobre posição é
e a da cinética é
, logo são diferentes.